Tribu non borélienne

La tribu triviale $\{\emptyset , X\}$ est rarement borélienne. Sur $\R$ on sait que $\mathcal P(\R)$ n'est pas la tribu borélienne et que la tribu
\[
\{A \subset \R : \mathrm{Card} (A) = \mathrm{Card} (\N) \text{ ou } \mathrm{Card} (A^C) = \mathrm{Card} (\N) \}
\]
n'est pas non plus ta tribu borélienne. La tribu de Lebesgue, qui est la complétée de la tribu de Borel, en est encore une autre.

Effectivement je n'avais pas compris ta question.

Cette deuxième question est plus compliquée. D'ailleurs pour la tribu de Lebesgue cela va dépendre. Un résultat célèbre de Solovay affirme, en un certain sens, que sans l'axiome du choix tous les sous-ensembles de $\R$ sont mesurables. Je n'ai jamais vu de système qui engendrerait la tribu de Lebesgue en fait... Tout ce que je peux dire c'est que si $A$ engendre $\mathscr L(\R)$ alors $A$ doit avoir le même cardinal que $\mathcal P(\R)$.

Il est clair que si l'intersection d'une famille quelconques de parties de $\mathbb R$ de mesures de Lebesgue finies est mesurable, alors elle est de mesure finie. Tout le problème vient de la mesurabilité hypothétique de cette intersection, qui n'est pas garantie en général :

Si $A$ est une partie non mesurable bornée de $\mathbb R$ (dont l'existence est garantie dès qu'il existe une partie non mesurable de $\mathbb R$), disons $A \subset [-R, R]$ alors $A = (A^c)^c = \Big(\displaystyle \bigcup_{x \not \in A} \{x\}\Big)^c = \bigcap_{x \not \in A} \mathbb R \setminus \{x\} = \bigcap_{x \not \in A} [-R, R] \setminus \{x\}$ et chaque élément de cette intersection est mesurable de mesure finie.

Je ne sais pas, c'est une question intéressante. Je pense qu'effectivement la tribu de Lebesgue n'est la tribu borélienne d'aucune topologie sur $\mathbb R$ (du moment qu'il existe des parties non Lebesgue-mesurables). Une manière de le montrer serait de trouver une condition nécessaire pour qu'une tribu borélienne soit complète, puis vérifier que ce n'est pas satisfait par la tribu de Lebesgue sous l'hypothèse ci-dessus.

Je pense qu'on peut montrer au moins la chose suivante : si $\mathcal T$ est une topologie sur $\mathbb R$ telle que $\mathcal L = \mathcal B(\mathcal T)$ alors toute base de $\mathcal T$ a le cardinal de $\mathcal P(\mathbb R)$. Sinon, je pense que la démonstration usuelle du fait que la tribu borélienne a même cardinal que $\mathbb R$ permettrait d'obtenir que $\mathcal B(\mathcal T)$ a un cardinal strictement plus petit que celui de $\mathcal P(\mathbb R)$.