$S_n\sim\mathcal B(n,p)$ binomiale
Bonsoir
Je vous pose une question très basique que j'ai du mal à démontrer rigoureusement.
On se donne une variable aléatoire $ S_n $ qui suit une loi binomiale de paramètre $ n $ et $ p \in ] 0 , 1 [ $ telle que : $ S_n \sim \mathcal{B} ( n,p ) $.
Comment montre-t-on que $ S_n $ se met sous la forme : $ S_n = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^n X_i $ avec : $ X_i $ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $ p $ ?
Merci d'avance.
Je vous pose une question très basique que j'ai du mal à démontrer rigoureusement.
On se donne une variable aléatoire $ S_n $ qui suit une loi binomiale de paramètre $ n $ et $ p \in ] 0 , 1 [ $ telle que : $ S_n \sim \mathcal{B} ( n,p ) $.
Comment montre-t-on que $ S_n $ se met sous la forme : $ S_n = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^n X_i $ avec : $ X_i $ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $ p $ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Sinon, une fois que tu as observé la valeur de $S_n=s \in \{0,\dots,n\}$, tu remplis une urne avec $n$ jetons, dont $s$ qui sont gagnants.
Tu pioches dans ton urne sans remise $n$ fois (donc jusqu'à la vider !), et tu notes $X_i = 1$ si tu as eu un jeton gagnant au $i^\text{ème}$ tirage, $X_i=0$ sinon.
Tu t'aperçois alors que $S_n = \sum X_i$, et que, une fois déconditionnés de $S_n = s$, tes $X_i$ sont Bernoulli $B(p)$ et indépendants. (ce que tu avais oublié de demander !)
Je rebondis sur le sujet des variables de Bernoulli indépendantes X1, .... Xn dont la somme Sn suit une loi binomiale, comme expliqué ci-dessus.
Cependant, quid de la loi de Sn+Sm où m et n sont deux entiers ? A priori cette quantité prend toute valeur s dans l'intervalle [0,...,n+m], mais selon quelle loi ?
Plus généralement, quelle est la loi d'une combinaison linéaire (à coefficients entiers) de variables de Bernoulli indépendantes ?
Merci pour vos lumières, d'ores et déjà appréciées. Bon confinement, et surtout bonne santé à tous.
Notation douteuse ... Si $m=n$ tu ne veux pas dire que tu cherches la loi de $2S_n$
Sn+Sn+m= 2 (X1+...+Xn) + (Xn+1 +....+ Xn+m). Qui prend donc ses valeurs s dans l'intervalle [0,...,2n+m].
Sachant que (X1+...+Xn) prend toute valeur p dans l'intervalle [0,...,n].exactement $B(n,p)$ fois sur $2^n$ possibilités, tandis que (Xn+1 +....+ Xn+m) prend -indépendamment- toute valeur q dans l'intervalle [0,...,m] exactement $B(m,q)$ fois sur $2^m$ possibilités.
Ca je crois avoir vu. La question qui vient après j'imagine, c'est compter pour chaque valeur de s le nombre de décompositions s=2p+q possibles, et leurs occurrences respectives. est-ce celà que vous suggérez ?
\underbrace
{%
\underbrace{
S_n
}_{\hookrightarrow B(n,p)}
+
\underbrace{
S_{m+n}-S_n
}_{\hookrightarrow B(m,p)}
}_{\text{indépendantes}}
=
\underbrace{
S_{m+n}
}_{\hookrightarrow B(m+n,p)}
$$
Mon problème est de trouver la loi de cette somme de sommes, qui se recouvrent partiellement. En effet, les deux sommes ont en commun la quantité $X_1+....X_n$ de sorte que
$S_n+S_{n+m}=2(X_1+....X_n)+X_{n+1}+....X_{n+m}$.
J'espère que je pose bien le problème.
C'est immédiat si on connaît la loi forte des grands nombres, car tu regardes $E [(S_n/n)^p]$:
$S_n/n$ tend presque sûrement vers $1/2$ et le théorème de convergence dominée s'applique.
Qu'as-tu comme outils ?
$|(1/2)^p-E (S_n/n)^p|\le E|(1/2)^p-(S_n/n)^p|\le p E|1/2-S_n/n|\le p\sqrt{E (1/2-S_n/n)^2}=\frac{p}{2\sqrt n}$