$S_n\sim\mathcal B(n,p)$ binomiale

Pablo_de_retour
Pablo_de_retour
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir
Je vous pose une question très basique que j'ai du mal à démontrer rigoureusement.

On se donne une variable aléatoire $ S_n $ qui suit une loi binomiale de paramètre $ n $ et $ p \in ] 0 , 1 [ $ telle que : $ S_n \sim \mathcal{B} ( n,p ) $.
Comment montre-t-on que $ S_n $ se met sous la forme : $ S_n = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^n X_i $ avec : $ X_i $ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $ p $ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • marsup
    marsup
    Ce n'est pas forcément le cas, car l'univers $\Omega$ peut être trop petit.

    Sinon, une fois que tu as observé la valeur de $S_n=s \in \{0,\dots,n\}$, tu remplis une urne avec $n$ jetons, dont $s$ qui sont gagnants.

    Tu pioches dans ton urne sans remise $n$ fois (donc jusqu'à la vider !), et tu notes $X_i = 1$ si tu as eu un jeton gagnant au $i^\text{ème}$ tirage, $X_i=0$ sinon.

    Tu t'aperçois alors que $S_n = \sum X_i$, et que, une fois déconditionnés de $S_n = s$, tes $X_i$ sont Bernoulli $B(p)$ et indépendants. (ce que tu avais oublié de demander !)
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    D'accord. Je comprends. Merci. ;-)
  • busbecq
    busbecq
    Bonjour à tous. En ces temps de confinement, nous avons du temps pour nous poser des questions existentielles! l'une d'elles m'est venue à l'esprit ces jours derniers. Et je sèche.

    Je rebondis sur le sujet des variables de Bernoulli indépendantes X1, .... Xn dont la somme Sn suit une loi binomiale, comme expliqué ci-dessus.

    Cependant, quid de la loi de Sn+Sm où m et n sont deux entiers ? A priori cette quantité prend toute valeur s dans l'intervalle [0,...,n+m], mais selon quelle loi ?

    Plus généralement, quelle est la loi d'une combinaison linéaire (à coefficients entiers) de variables de Bernoulli indépendantes ?

    Merci pour vos lumières, d'ores et déjà appréciées. Bon confinement, et surtout bonne santé à tous.
  • aléa
    aléa
    Indication: $X_1+\dots+X_{n+m}=(X_1+\dots+X_n)+(X_{n+1}+\dots+X_{n+m})$
  • P.
    P.
    Bonjour brusbecq.


    Notation douteuse ... Si $m=n$ tu ne veux pas dire que tu cherches la loi de $2S_n$
  • busbecq
    busbecq
    Merci pour vos réponses. Aléa suggère d'étudier la quantité Sn+ Sn+m. Sn+m peut alors être scindée en deux sommes partielles (X1+...+Xn) + (Xn+1 +....+ Xn+m). De sorte que la quantité recherchée s'écrit

    Sn+Sn+m= 2 (X1+...+Xn) + (Xn+1 +....+ Xn+m). Qui prend donc ses valeurs s dans l'intervalle [0,...,2n+m].

    Sachant que (X1+...+Xn) prend toute valeur p dans l'intervalle [0,...,n].exactement $B(n,p)$ fois sur $2^n$ possibilités, tandis que (Xn+1 +....+ Xn+m) prend -indépendamment- toute valeur q dans l'intervalle [0,...,m] exactement $B(m,q)$ fois sur $2^m$ possibilités.

    Ca je crois avoir vu. La question qui vient après j'imagine, c'est compter pour chaque valeur de s le nombre de décompositions s=2p+q possibles, et leurs occurrences respectives. est-ce celà que vous suggérez ?
  • marsup
    marsup
    $$
    \underbrace
    {%
    \underbrace{
    S_n
    }_{\hookrightarrow B(n,p)}
    +
    \underbrace{
    S_{m+n}-S_n
    }_{\hookrightarrow B(m,p)}
    }_{\text{indépendantes}}
    =
    \underbrace{
    S_{m+n}
    }_{\hookrightarrow B(m+n,p)}
    $$
  • busbecq
    busbecq
    Merci pour votre suggestion de décomposition Marsup mais je ne vois pas comment l'utiliser pour obtenir la loi de $S_n+S_{n+m}$.

    Mon problème est de trouver la loi de cette somme de sommes, qui se recouvrent partiellement. En effet, les deux sommes ont en commun la quantité $X_1+....X_n$ de sorte que

    $S_n+S_{n+m}=2(X_1+....X_n)+X_{n+1}+....X_{n+m}$.

    J'espère que je pose bien le problème.
  • busbecq
    busbecq
    Bonjour, je reviens après quelques semaines. vos conseils m'ont bien aidé. J'ai bien avancé. Au moins le confinement aura servi! La question suivante qui est apparue dans mes développements, c'est de trouver un équivalent à la quantité $S_k=\frac{1}{2^k}\sum_{r=0}^k \begin {pmatrix} k\\r \end {pmatrix} r^p$ pour les grands k. Dans le Gould, j'ai trouvé la valeur de cette somme pour p=1,2,3. Mais je n'ai pas vu de forme générale pour tout p. Il semble que $S_k\sim (k/2)^p$. Quelqu'un saurait comment le démontrer ? Merci d'avance pour vos lumières.
  • aléa
    aléa
    Ce n'est pas une bonne idée de reprendre la lettre $S$.


    C'est immédiat si on connaît la loi forte des grands nombres, car tu regardes $E [(S_n/n)^p]$:
    $S_n/n$ tend presque sûrement vers $1/2$ et le théorème de convergence dominée s'applique.

    Qu'as-tu comme outils ?
  • aléa
    aléa
    Bon, en fait ça se fait très bien à la main

    $|(1/2)^p-E (S_n/n)^p|\le E|(1/2)^p-(S_n/n)^p|\le p E|1/2-S_n/n|\le p\sqrt{E (1/2-S_n/n)^2}=\frac{p}{2\sqrt n}$
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