Mesures boréliennes.
Bonjour
J'aimerais montrer que deux mesures de probabilités $\mu$ et $\nu$ sont égales sur $\R^{n}$ muni de sa tribu borélienne.
Pensez-vous qu'il est suffisant de montrer l'égalité $$
\int{f 1_{K} d\mu} = \int{f 1_{K} d\nu}
$$ pour toute fonction continue $f : \R^{n} \rightarrow \R$ et $K$ un compact de $\R^{n}$.
Honnêtement, je me demande, je vous remercie pour votre aide.
Pour moi d'après le théorème de représentation de Riesz, les mesures $1_{K} \mu$ et $1_{K} \nu$ sont égales, ce qui veut dire que $\mu$ et $\nu$ sont égales sur tout les pavés qui sont un $\pi$ système générateur donc elles sont égales.
Après comme à chaque fois, j'avoue j'utilise le théorème de Riesz sans le comprendre vraiment (l'avoir démontrer) donc je ne suis pas sûr de moi.
J'aimerais montrer que deux mesures de probabilités $\mu$ et $\nu$ sont égales sur $\R^{n}$ muni de sa tribu borélienne.
Pensez-vous qu'il est suffisant de montrer l'égalité $$
\int{f 1_{K} d\mu} = \int{f 1_{K} d\nu}
$$ pour toute fonction continue $f : \R^{n} \rightarrow \R$ et $K$ un compact de $\R^{n}$.
Honnêtement, je me demande, je vous remercie pour votre aide.
Pour moi d'après le théorème de représentation de Riesz, les mesures $1_{K} \mu$ et $1_{K} \nu$ sont égales, ce qui veut dire que $\mu$ et $\nu$ sont égales sur tout les pavés qui sont un $\pi$ système générateur donc elles sont égales.
Après comme à chaque fois, j'avoue j'utilise le théorème de Riesz sans le comprendre vraiment (l'avoir démontrer) donc je ne suis pas sûr de moi.
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Réponses
La raison est que la tribu borélienne est engendré par les pavés ouverts. Après je me dis qu'il est possible que les compacts sont un $\pi$ système générateur, on peut peut être montré pour cela que les pavés fermés engendrent la tribu des borélien.
Oui ce n'est pas difficile à voir puisqu'un pavé fermé est inclus dans un pavé ouvert. Et on passe aux tribu générateurs on a une inclusion. L'autre inclusion est qu'un pavé ouvert est inclus dans un pavé fermé.
Donc effectivement si elles coïncident sur les compacts qui sont un $\pi$ système générateur, elles sont égales partout.