Mesures boréliennes.
Bonjour
J'aimerais montrer que deux mesures de probabilités $\mu$ et $\nu$ sont égales sur $\R^{n}$ muni de sa tribu borélienne.
Pensez-vous qu'il est suffisant de montrer l'égalité $$
\int{f 1_{K} d\mu} = \int{f 1_{K} d\nu}
$$ pour toute fonction continue $f : \R^{n} \rightarrow \R$ et $K$ un compact de $\R^{n}$.
Honnêtement, je me demande, je vous remercie pour votre aide.
Pour moi d'après le théorème de représentation de Riesz, les mesures $1_{K} \mu$ et $1_{K} \nu$ sont égales, ce qui veut dire que $\mu$ et $\nu$ sont égales sur tout les pavés qui sont un $\pi$ système générateur donc elles sont égales.
Après comme à chaque fois, j'avoue j'utilise le théorème de Riesz sans le comprendre vraiment (l'avoir démontrer) donc je ne suis pas sûr de moi.
J'aimerais montrer que deux mesures de probabilités $\mu$ et $\nu$ sont égales sur $\R^{n}$ muni de sa tribu borélienne.
Pensez-vous qu'il est suffisant de montrer l'égalité $$
\int{f 1_{K} d\mu} = \int{f 1_{K} d\nu}
$$ pour toute fonction continue $f : \R^{n} \rightarrow \R$ et $K$ un compact de $\R^{n}$.
Honnêtement, je me demande, je vous remercie pour votre aide.
Pour moi d'après le théorème de représentation de Riesz, les mesures $1_{K} \mu$ et $1_{K} \nu$ sont égales, ce qui veut dire que $\mu$ et $\nu$ sont égales sur tout les pavés qui sont un $\pi$ système générateur donc elles sont égales.
Après comme à chaque fois, j'avoue j'utilise le théorème de Riesz sans le comprendre vraiment (l'avoir démontrer) donc je ne suis pas sûr de moi.
Réponses
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@Gentil si j'ai bien compris ta question, il te suffit de montrer ton égalité pour la fonction constante égale à 1. Tes deux mesures de prob prendraient les mêmes valeurs sur les compacts donc elles seraient égales comme tu dis. Donc il n'y a pas besoin du théorème de représentation de Riesz.
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@Raoul.S : Bonjour, je n'ai pas seulement montré qu'elles étaient égales sur les compacts mais que les restrictions aux compacts sont égales.
La raison est que la tribu borélienne est engendré par les pavés ouverts. Après je me dis qu'il est possible que les compacts sont un $\pi$ système générateur, on peut peut être montré pour cela que les pavés fermés engendrent la tribu des borélien.
Oui ce n'est pas difficile à voir puisqu'un pavé fermé est inclus dans un pavé ouvert. Et on passe aux tribu générateurs on a une inclusion. L'autre inclusion est qu'un pavé ouvert est inclus dans un pavé fermé.
Donc effectivement si elles coïncident sur les compacts qui sont un $\pi$ système générateur, elles sont égales partout.
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Bonjour!
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