Mouvement brownien

Fulgrim · October 2019

Bonsoir à tous.
J'essaye de résoudre l'exercice suivant :
$(B_t)_{t\in[0,1]}$ est un mouvement brownien, $\mathcal{F}_t$ la filtration associée, et $\mathcal{G}_t=\mathcal{F}_t + \sigma(B_1)$, c'est-à-dire l'information donnée par les $s$ premiers instants ainsi que l'arrivée.
J'aimerais montrer que
$$\mathbb{E}(B_1-B_t~|~\mathcal{G}_s) = \dfrac{1-t}{1-s}(B_1-B_s)$$
Ça parait naturel, car le MB se situerait en moyenne sur la ligne entre $B_s$ et $B_1$.
Du coup j'essaye plusieurs trucs / symétries pour essayer de mettre ça en forme, par exemple m'intéresser au MB issu du retournement de temps et chercher une équation linéaire à résoudre, mais rien à faire je n'arrive pas à concrétiser

Est-ce que quelqu'un aurait des indications à me donner ?
Merci

marsup · October 2019

Si $X,Y$ sont indépendantes, respectivement
$X \hookrightarrow N(0,a^2)$
$Y \hookrightarrow N(0,b^2)$
alors
$Z = X+Y \hookrightarrow N(0,c^2)$, où $c^2 = a^2 + b^2$.

Alors la loi de $X$ connaissant $Z$ est $N\big(\frac{a^2}{c^2} \cdot Z,\frac{a^2}{c^2}\cdot Z^2\big)$.

L'espérance conditionnelle est donc $E[X|Z] = \frac{a^2}{c^2} \cdot Z$.

Ici c'est ce qui se passe :
$X = B_1-B_t$, $a^2 = 1-t$,
$Y = B_t-B_s$, $b^2 = t-s$, (indépendante de $X$)
$Z = X+Y = B_1-B_s$, $c^2 = a^2 + b^2 = 1-s$.

-- edit : correction de la variance conditionnée

Fulgrim · October 2019

Beaucoup plus simple et efficace que ce que je bricolais, merci !

Mouvement brownien

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