Soit p un réel tel que 0<p<2/3.

C'est difficile de lire, j'abandonne.
Que trouves-tu pour la question b).
Une fois qu'on a répondu à la question a) et à la question b), la réponse pour la question c) tient en une ligne.

Pour être plus précis.

On peut prendre $p=\frac35$ car $0<\frac35<\frac23$.

On a alors $q_0=\frac12=\frac{125}{250}$, $q_1=\frac3{10}=\frac{75}{250}$, $q_2=\frac9{50}=\frac{45}{250}$ et $q_3=\frac{27}{250}$.

D'où $q_0+q_1+q_2+q_3=\frac{272}{250}>1$.

Or on a ajouté des probabilités d'événements incompatibles. La somme des probabilités devrait donc être strictement inférieure à 1.

L'énoncé est absurde si $p=\frac35$.

En fait il est absurde si $p\neq\frac12$.

Edit : strictement est de trop, je l'ai barré.

@lourrran.
Je ne crois pas que $\forall p\in \left]0;\frac23\right[,\quad \sum_{n=0}^\infty\frac12p^n=1$.

Mais si tu peux me démontrer mon erreur, je m'excuserai humblement.

@Shadows Asgard pour te dire à quelle ligne se trouve ton erreur il faudrait déjà pouvoir lire ce que tu as écrit :-D

Désolé mais comme lourrran je ne vois que dalle. Essaie de scanner à nouveau ta page voire de faire deux scan (un pour le haut de la page et un pour le bas).

Pour calculer la probabilité qu'une famille ait au moins un garçon , il y a 2 méthodes.
- Faire une somme des différents cas 'positifs' (exactement 1 garçon + exactement 2 garçons + exactement 3 garçons + ... + exactement n garçons + ...
Ou bien
- Calculer la probabilité : la famille n'a que des filles puis dire que la probabilité d'avoir au moins 1 garçon, c'est la probabilité complémentaire.

Un calcul très long, infaisable, ou un calcul simple. Choisis ton camp.

@Shadows Asgard l'erreur est déjà à la première ligne de calcul (je n'ai pas tout lu du coup). En effet, tu essaies de répondre directement à la question c) en croyant répondre à la b).

Dans la b) il y a une subtilité dans l'énoncé que tu as loupée.
En effet la b) ne te dis pas "quelle est la probabilité q'une famille donnée ait au moins un garçons ?" mais Soit une famille de n enfants blablabla. Donc comme déjà dit c'est une probabilité conditionnelle. Tu ne travailles plus sur l'univers entier (l'ensemble de toute les issues) mais seulement sur le sous-ensemble des famille ayant exactement $n$ enfants avec n fixé ($n\geq1$). Voir ma première réponse.

Pour faire simple la b) te dis : suppose que tu as devant toi une famille avec $n$ enfants ($n\geq1$ fixé) (et oublie tout le reste) qu'elle est la probabilité d'avoir au moins un garçon dans cette famille si tu sais qu'en général la probabilité qu'un nouveau né soit un garçon est 1/2. Tu vois bien que c'est la même chose que tirer à pile ou face $n$ fois et calculer la probabilité d'avoir au moins une fois pile...

(je pense avoir bien lu lorsque tu écris $G_n=\text{une famille donnée a exactement n garçons}$)

ça arrive à tout le monde.

Sur une des lignes, tu écris par indépendance. Le fait d'avoir au moins un garçon est indépendant du nombre d'enfants ? Une famille de 10 enfants a la même probabilité d'avoir au moins un garçon qu'une famille de 1 enfant ?

Et ensuite, on se retrouve à faire une union infinie de tous les cas possibles ... Ca vient d'où ? On est sur une famille à $n$ enfants, comment on peut avoir de l'infini là-dedans ?

Pour calculer cette somme infinie, tu rajoutes un terme pour que la somme commence à k=0 ; inutile ; la formule d'une série géométrique marche même si le premier terme n'a pas pour indice k=0 (enfin, si on connaît bien la formule).

Shadows,

et si tu t'arrêtais de manipuler des formules sans savoir ? Au lieu d'écrire des lignes et des lignes, prends le temps de choisir ce que tu peux utiliser comme règle en ayant lu l'énoncé. Qui te donne un renseignement sur les probabilités de naissances de garçons en fonction de la taille de la famille.
Si tu ne lis pas l'énoncé, inutile de faire l'exercice.

Cette question, faite de cette manière, prend 2 lignes !!

Cordialement.