Approche d'une tribu

mehdi · October 2019

Bonjour,

Soit ( F_a) une famille de sous-tribus d'un espace probabilisé, F l'ensemble réunion des F_a et G la sous-tribu engendrée par F.
La propriété suivante est-elle vraie ?
Pour tout A de G et s positif, il existe un B de F tel que la probabilité P(A\B) + P(B\A) inférieur à s.
Merci beaucoup.

Poirot · October 2019

Comme souvent avec tes questions, tu ne t'es pas rendu compte qu'une partie de l'information était inutile (ici le fait que $F$ soit réunion de sous-tribus $F_a$).

Pablo_de_retour · October 2019

Bonjour,

D’abord, Je ne connais pas la réponse à votre exercice.
Néanmoins, à mon humble avis, voici comment je conçois ce problème : ( C'est juste un avis personnel sur quel tu peux t'appuyer ).

Dans cet exercice, on considère : $ A \in \mathcal{G} $, et on demande de montrer que :
$ \forall \epsilon > 0 \ \ \exists B \in \mathcal{F} $ : $ \mathbb{P} ( A \Delta B ) < \epsilon \ \ \ $ ( puisque : $ ( A \backslash B ) \cap ( B \backslash A ) = \emptyset \ $ ).

On peut reformuler cette question comme suit :
$ \forall \epsilon > 0 \ \ \exists a \in (I , \leq ) \ \ \exists B \in \mathcal{G} $ :
$$ B \in \mathcal{F}_a \hookrightarrow A \in \mathcal{G} \ \ \Longrightarrow \ \ \mathbb{P} ( A \Delta B ) = \displaystyle \int | \mathbb{1}_{A} - \mathbb{1}_B | d \mathbb{P} < \epsilon $$
C'est à dire montrer que : $ \displaystyle \lim_{ \mathcal{F}_{a} \to \mathcal{G} } \mathbb{P} ( A \Delta B ) = 0 $.
Non ?.

raoul.S · October 2019

@mehdi je sais que si $F$ est une algèbre de Boole alors la réponse est oui. C'est le cas par exemple si tu as une suite croissante $(F_n)$ de tribus. On peut le démontrer avec le lemme de la classe monotone.

Dans le cas général je ne sais pas.