Les combinaisons

Bonjour
Je suis perdu dans un calcul des combinaisons

Avec $k\geq n+1$ $$

\sum_{j=n}^{k}{C_{j-1}^{n-1}}=\sum_{j=n}^{k-1}{C_{j-1}^{n-1}}+C_{k-1}^{n-1}=C^n_{k-1}+C_{k-1}^{n-1}.

$$ Et plus précisément cette égalité $\sum\limits_{j=n}^{k-1}{C_{j-1}^{n-1}}=C^n_{k-1}$ que je ne comprends pas.
Merci de me répondre.