Introduction aux probabilités

arthurserres
arthurserres
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous, je suis actuellement en L2 de mathématiques et je suis un cours d'introduction aux probabilités. Dans ce dit cours nous avons défini les variables aléatoires et en particulier les variables discrètes qui sont décrites comme étant les variables aléatoires dont la fonctions de réparation est une fonction en escalier. Plus formellement si on note $D_F$ l'ensemble des points de discontinuité de $F$ la fonction de répartition on a $P(X \in D_F)=1$ (Ou $X$ est ma VA discrète). Un des corollaire immédiat et que ce $D_F$ est dénombrable.
Maintenant je me demande pourquoi $Im(X)$ où $X$ est ma V.A est lui aussi dénombrable. Si quelqu'un a une preuve simple elle est la bienvenue !
Merci d'avance.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Si le premier ensemble est dénombrable (ensemble des points de discontinuité) alors on peut associer un créneau (un morceau de fonction constante) entre deux points de discontinuité puisque c’est une fonction en escalier.
    On a (presque) une bijection entre les deux ensembles.
  • arthurserres
    arthurserres
    Je ne suis pas sûr d'avoir compris. Si on note $D_F= \left\{ x_k \mid k \in \mathbb{N} \right\}$ alors on a une bijection entre $ \left\{ F^{-1} (x_k) \mid k \in \mathbb{N} \right\} $ et $D_F$. Ce dernier ensemble serait en bijection avec $Im(X)$ ? Comment ?
    Merci d'avance.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonsoir,

    A mon humble avis, et je peux avoir tort, ton cours est mauvais : Jamais on introduit la notion de fonction de répartition en théorie des variables aléatoires discrètes.
    Tout ce qu'on peut dire, est que si $ X $ est une variable aléatoire discrète ( i.e : $ X \in \mathbb{N} $ ), alors la loi $ \mathbb{P}_X $ de $ X $ est caractérisée par la donnée de ses valeurs sur la famille de tous les singletons $ \{ j \}_{ j \in \mathbb{N} } $, c'est à dire, par la donnée de la famille $ \{ \ (j , p_j ) \ | \ j \in \mathbb{N} \ \} $ avec : $ p_j = \mathbb{P}_X ( \{ j \} ) = \mathbb{P} ( X = j ) $ pour tout $ j \in \mathbb{N} $.
  • Poirot
    Poirot
    C'est faux en toute généralité, on pourrait avoir $\mathbb P(X = x)=0$ mais $\{X=x\} \neq \emptyset$ pour une quantité non dénombrable de $x$. Mais ça n'a pas d'importance en théorie des probabilités, ce qui compte c'est la proba des événements.

    @Pablo : a priori ses variables aléatoires sont à valeurs réelles, et pas seulement entières.
  • marsup
    marsup
    Bah si Pablo, on regarde la fonction de répartition même pour les va discrètes, parce qu'on en a besoin par exemple pour trouver la loi du maximum de deux variables indépendantes.
  • arthurserres
    arthurserres
    J'ai donc été mal renseigné, on m'avait dit que c’était vrai...
    Merci pour vos réponses.
    Bonne soirée !
  • P.
    P.
    Peut-être faut-il rappeler que si $D$ est l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction $F$ croissante telle que $\lim_{-\infty} F=0$ et $\lim_{\infty} F=1$ alors $D$ est dénombrable.

    Details : si $d\in D$ et si $s_d=F(d+0)-F(d-0)$ notons $D_n=\{d\mid s_d\geq 1/n\}.$ Alors $D_n$ est fini car il a au plus $n$ éléments et donc $D=\cup_nD_n$ est dénombrable.
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