Un ordinateur pose 20 questions ...
Bonsoir,
j'aimerais savoir si je n'ai pas commis d'erreur pour cet exercice, pouvez-vous me dire si ce que j'ai fait est correct svp ?
Merci d'avance pour votre réponse.
j'aimerais savoir si je n'ai pas commis d'erreur pour cet exercice, pouvez-vous me dire si ce que j'ai fait est correct svp ?
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Réponses
Biely pourquoi n'êtes-vous pas d'accord sur la probabilité de succès de W ?
Car pour chaque épreuve de Bernoulli effectuée dans le processus de Bernoulli de la variable W, on choisii une réponse, et une seule est correcte, parmi les (k-1) propositions restantes. Donc la probabilité de donner la réponse correcte à la seconde tentative de réponse c'est 1/(k-1) ?
Pourquoi est-ce faux ?
Mais qu'ai-je fait d'autre comme erreur pour que ce que j'ai fait soit complètement faux ?
En fait, tu ne sembles pas avoir vraiment compris cet énoncé, qui, en fait, est loin d'être clair. La procédure semble être, pour chaque question :
* réponse exacte 1pt
* réponse fausse : on fait choisir parmi les k-1 autres réponses, si le candidat répond juste, 0,5 pt, sinon 0.
Quant à Y, il semble que ce soit le total des demi-points obtenus, c'est à dire 0 si X=20, mais aussi de 0 à 10 si X= 0. La probabilité de Y=p est donc à calculer sérieusement.
Quant à ton W qui semble être simplement le double de Y, on n'en a pas besoin, et il ne suit certainement pas la loi binomiale. Si tu as des raisons de penser qu'une variable aléatoire suit une loi connue, tu le justifies proprement (*), et sinon, tu étudies la situation, les maths ce n'est pas deviner, c'est être sûr.
Même chose pour les affirmations du style : "Donc Y et W ont la même loi" (Y prend des valeurs comme 0,5 que ne prend pas W, c'est bête !!).
Donc à reprendre sérieusement.
Cordialement.
(*) Comme tu l'as fait pour X.
Quant au fait que j'ai dit "Donc Y et W ont la même loi" ce n'est pas de moi mais de mon professeur. Moi aussi j'ai trouvé ça abbérant quand il m'a dit ça, alors je lui ai demandé sur quelle propriété il s'appuyait pour dire ça, et il m'a répondu: "il n'y a pas de propriété, c'est de la logique". Alors je me suis dit qu'il y avait des choses de la logique qui m'échappait sérieusement... et j'ai préféré avoir votre avis sur la question.
C'est une question de vocabulaire. On peut convenir que dans les 2 cas, c'est une loi binomiale, donc oui.
Et on peut convenir que les paramètres sont différents donc non.
Les 2 réponses sont valides, à partir du moment où on les argumente.
ici, Y prend des valeurs demi entières, pas W. Donc si le prof a vraiment dit que Y et W ont la même loi, il travaille du chapeau.
Soit n un entier entre 0 et 20.
$P(Y = \frac n 2) = \sum_{i=0}^{20} P(X= i \text{ et } Y= \frac n 2) = \sum_{i=0}^{20} P(X=i) P(Y= \frac n 2\ / x=i)$
Cette dernière somme se simplifie facilement, car si x=i, il reste seulement 20-i questions sur lesquelles on peut espérer un demi point. Et comme on espère avoir bien répondu à n d'entre elles, $n \le 20-i$
Et en plus à chacune de ces n questions on a la même probabilité de bonne réponse, indépendamment, cette proba conditionnelle suit, elle, une loi binomiale. On est sauvés !
Bonne nuit !
Par contre Gerard0, j'ai un problème par rapport à votre remarque pour l'écriture de la probabilité conditionnelle de (Y= n/2) sachant (X=i), surtout concernant l'écriture du coefficient binomial, car en bas du coeffient binomial, où normalement dans la formule de la loi binomiale on reporte la valeur k, lequel k on retrouve dans P(X=k) avec X une variable aléatoire réelle suivant la loi binomiale, car même si notre probabilité est P(Y=n/2), on ne peut pas écrire n/2 en bas du coefficient binomial, car n/2 n'est pas un nombre entier. Or dans un coefficient binomial on ne peut mettre que des nombres entiers normalement ? (c'est ce que j'ai indiqué dans ma remarque en vert dans la pièce-jointe)
$P(Y= \frac n 2\ / x=i) = P(2Y= n\ / x=i)$.
Et en ce qui concerne la question c) ensuite, pour le calcul de E(Z), je pense qu'il faut faire:
E(Z) = E(X+Y)
= E(X) + E(Y)
Mais comment dois-je m'y prendre pour calculer E(Y) ?
Car je pensais à partir de l'expression de P(Y= n/2) retrouver la forme d'une loi binomiale et ainsi l'espérance serait une formule de cours prédéfinie, mais je n'arrive pas à retrouver la forme d'une loi binomiale.
Et ton calcul est faux, apparaissent des expressions bizarre, comme des coefficients ${2} \choose 3$, pour n=3 et des puissances négatives. Tu n'as manifestement pas compris mon message. Ni vraiment réfléchi à ce qui se passe.
Inutile de calculer si tu ne comprends pas la situation; le but de l'exercice n'est pas d'avoir un résultat, mais d'avoir le bon résultat.
On peut aussi s'amuser a calculer la loi de $2(X+Y):$
$$ \mathbb{E}(z^{2X+2Y}|X)=z^{2X}(q'+p'z)^{X'},\ \mathbb{E}(z^{2X+2Y})=\mathbb{E}(z^{2X}(q'+p'z)^{20-X})=(q'+p'z)^{20}\mathbb{E}\left(\left(\frac{z^2}{q'+p'z}\right)^X\right)=(q(q'+p'z)+pz^2)^{20}.$$
Je pense avoir compris ce que vous m'indiquiez qui n'allait pas dans ce que j'ai proposé Gerard0, c'était à cause des termes i de la somme je pense. Maintenant est-ce correct ?
Mais si oui je ne vois toujours pas en quoi cela me permet de retrouver l'expression d'une loi binomiale ?
Tu auras peut-être intérêt à transformer $1-\frac 1 k$ en $\frac{k-1}k$ et simplifier, idem pour les k-1.
Si oui je ne comprends pas car plus haut c'est ce que j'avais suggéré mais Biely m'avait corrigé en me disant "Pour avoir 0,5 pour une question il faut déjà répondre faux la première fois donc la probabilité d'avoir juste au deuxième choix est [(k-1)/k]×1/(k-1)=1/k".
On a Y=0,5W (ce qui veut dire par exemple que P(Y=10)=P(W=20), P(Y=9,5)=P(W=19)... )
On ne demande pas la loi de Z.
E(Z)= E(X+0,5W)=E(X)+0,5E(W)=20/k+10/k=30/k
Donc E(Z)=5 pour k=6
c'est nettement plus simple ainsi.
Cordialement.
Notons q le nombre de questions, et , comme dans l'énoncé, k, le nombre de réponses possibles pour chaque question
Ici , on a q=20 questions. 20, c'est à la fois trop grand pour faire des calculs précis, et trop petit pour faire certaines approximations. Je vais donc supposer qu'on a q=1000 questions, au lieu de 20.
On essaiera de revenir à la fin au cas q=20
Et pour fixer les idées, disons que k = 10 (10 réponses possibles à chaque question).
- La loi de X , c'est facile. Bernouilli.
- L'espérance de X. On ne nous la demande pas à ce niveau, mais calculons-là quand même : E(X) = q/k = 100 dans mon exemple.
- La loi de Y.
Ca se gâte.
On pose un certain nombre de questions (environ 900 dans mon exemple), et pour chaque question, il y a k-1 réponses possibles.
On est donc 'à peu près' sur une loi de Bernouilli, avec $q\frac{k-1}{k}$ questions.
Je dis à peu près parce que certains élèves auront 850 questions, d'autres en auront 950, mais en moyenne, ce sera 900 questions par élève.
L'espérance de Y ?
1/2 * Nombre de questions * proba d'avoir bon à la question = $\frac{1}{2} * q\frac{k-1}{k} * \frac{1}{k-1}$ = $ \frac{q}{2*k}$
Est-ce que c'est une très bonne approximation ? ou une valeur exacte de l'espérance ? Je ne suis pas sûr à 100%. Mais c'est a-minima une très bonne approximation.
PS : Après un peu plus de réflexion, c'est une valeur exacte.
Proba que la moyenne des notes soit supérieure ou égale à 5/20.
Transposé à mon cas, il faut donc une moyenne supérieure ou égale à 250/1000.
Donc $\frac {1000}{k} + \frac{1000}{2*k} \ge 250 $
Soit $ \frac{3000}{2*k} \ge 250 $
Soit $ k \le 6 $
Il faut donc au maximum 6 réponses possibles à chaque question pour que les élèves aient une moyenne au moins égale à 250 sur 1000.
Si on revient au cas initial, avec 20 questions, et 6 réponses possible à chaque question, les élèves auront en moyenne 3.33 bonnes réponses au 1er tour. Certains auront donc 17 questions lors du 2ème passage, d'autres en auront 16, voire 15 voire 18 ...
Peut-on dire que cette 2ème question est une expérience de Bernouilli avec 16.67 questions et 5 réponses possibles ?
Bof, ça ma plait moyennement.
La loi de $2Y$ est exactement binomiale $B(q=20,\frac{1}{k})$.
Supposons en effet que $q=1$ : il n'y a qu'une seule question.
$2Y$ ne peut alors donner que 0 ou 1.
Pour avoir $2Y=1$, il faut et il suffit d'avoir eu faux à la première réponse et juste à la deuxième : probabilité $\frac{k-1}{k} \cdot \frac{1}{k-1} = \frac{1}{k}$.
Bon maintenant, retour au cas $q=20$.
Pour chaque question, les scores partiels suivent un schéma de Bernoulli $B(\frac{1}{k})$. (toujours la même probabilité de succès et indépendance mutuelle.
Donc leur somme $2Y$ est binomiale $B(q=20,\frac{1}{k})$, c'est tout.
C'est une propriété de stabilité de la loi binomiale.
Si je lance mille fois un dé 6 faces, le nombre de 6 est $S \hookrightarrow B(1000,\frac{1}{6})$.
Si je lance maintenant $S$ fois une pièce de monnaie (nombre de "6" obtenus au tour précédent), je vais obtenir $P\hookrightarrow B(1000,\frac{1}{12})$ (exactement !)
Si tu parles de ton message, il est évident qu'il n'est pas utilisable par un débutant en probas comme l'est l'auteur de ce fil (il te l'a dit lui-même). Si ce n'est pas le cas, peux-tu préciser de quelles 4 lignes tu parles ?
Cordialement.
Dans l'énoncé, Un élève va répondre a x questions (x entre 0 et 20, variable donc), et il a une probabilité 1/(k-1) de bien répondre. Ca, c'est le process tel qu'il est décrit. Si la 1ère réponse était bonne, il ne tente pas une 2ème chance.
Et c'est l'exercice que j'ai tenté de résoudre.
Mais effectivement, on peut le reformuler, en disant que chaque élève donne aléatoirement 2 nombres entre 1 et k, pour chacune des 20 questions. Et on s'intéresse à la question : le 2ème nombre est-il la bonne réponse.
Ainsi reformulé, on n'a strictement rien changé à l'énoncé, et maintenant, c'est évident qu'on retombe sur une loi de Bernouilli avec 20 questions, et une probabilité 1/k de bien répondre pour chacune des questions.
Donc exactement la même loi que X, au coefficient 1/2 près.
puisque c'est rédigeable au niveau ECE et que manifestement l'auteur de la question n'est pas en L3 ou M1, pourquoi avoir rédigé ainsi.
Et si du coup, ça prend 6 lignes, la proposition de Biely aussi et elle n'est pas plus longue. Au fait, ne serait-ce pas ce que tu rédigerais ? On attend de voir.
Cordialement.
gerard0 écrivait http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1874394,1876922#msg-1876922
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Car jusque-là dans mes précédents messages j'étais parti sur ça du coup, je ne peux pas aboutir ?
Aussi, en reprenant vos précédents messages, voilà en pièce-jointe ce que je comprends.
Par contre j'ai un problème de méthode concernant la façon de faire la question d). Car je ne comprends pas bien comment m'y prendre.
Selon moi la traduction mathématique de "le candidat obtient en moyenne une note de 5 sur 20 est : E(Z) = 5/20
Or on a: E(Z) = 30/k
Donc il faut qu'on ait k tel que : 5/20 = 30/k
i.e: k (5/20) = 30
i.e. k = (6 x 5 x 20)/ 5
i.e. k = 6 x 20
i.e. k = 120
Donc je ne comprends pas la remarque de Biely : "Donc E(Z)=5 pour k=6"
Car déjà pourquoi veut-on E(Z)=5 et non pas E(Z) = 5/20 ?
La note maximale sur ce QCM de 20 questions, elle est de 20 sur 20, et non 400 sur 20.