Un ordinateur pose 20 questions ...

supp

Sur cette planète idyllique, en répondant au hasard, on peut raisonnablement avoir 40/20. On comprend pourquoi Shadows Asgard a pris l'habitude de répondre au hasard aux exercices qu'il fait.

Pour avoir 0,5 pour une question il faut déjà répondre faux la première fois donc la probabilité d'avoir juste au deuxième choix est [(k-1)/k]×1/(k-1)=1/k

Pourquoi voudrais-tu qu'on regarde un travail qui est faux à la base ?

En fait, tu ne sembles pas avoir vraiment compris cet énoncé, qui, en fait, est loin d'être clair. La procédure semble être, pour chaque question :
* réponse exacte 1pt
* réponse fausse : on fait choisir parmi les k-1 autres réponses, si le candidat répond juste, 0,5 pt, sinon 0.

Quant à Y, il semble que ce soit le total des demi-points obtenus, c'est à dire 0 si X=20, mais aussi de 0 à 10 si X= 0. La probabilité de Y=p est donc à calculer sérieusement.
Quant à ton W qui semble être simplement le double de Y, on n'en a pas besoin, et il ne suit certainement pas la loi binomiale. Si tu as des raisons de penser qu'une variable aléatoire suit une loi connue, tu le justifies proprement (*), et sinon, tu étudies la situation, les maths ce n'est pas deviner, c'est être sûr.
Même chose pour les affirmations du style : "Donc Y et W ont la même loi" (Y prend des valeurs comme 0,5 que ne prend pas W, c'est bête !!).

Donc à reprendre sérieusement.

Cordialement.

(*) Comme tu l'as fait pour X.

Si X suit une loi binomiale de paramètre ... et si Y suit une loi binomiale de paramètre ... différent de X, peut-on dire que X et Y suivent la même loi ?
C'est une question de vocabulaire. On peut convenir que dans les 2 cas, c'est une loi binomiale, donc oui.
Et on peut convenir que les paramètres sont différents donc non.

Les 2 réponses sont valides, à partir du moment où on les argumente.

Pour simplifier posons $p=1/k, q=1-p,\ p'= 1/(k-1), q'=1-p', X'=20-X.$ Alors $X\sim B(p,20),$ $X'\sim B(q,20)$, $ 2Y|X\sim B(p',X')$ et donc $$\mathbb{E}(z^{2Y|}X)=(q'+p'z)^{X'},\ \mathbb{E}(z^{2Y})=(p+q(q'+p'z))^{20},\ \ 2Y\sim B(qp',20), $$ Donc $\mathbb{E}(X+Y)=20 p+10 qp'$. En utilisant les definitions de $p$ et $p'$ on trouve que $\mathbb{E}(X+Y)=5$ pour $k=6. $ Et aussi $qp'=p$ et donc $X\sim 2Y.$


On peut aussi s'amuser a calculer la loi de $2(X+Y):$
$$ \mathbb{E}(z^{2X+2Y}|X)=z^{2X}(q'+p'z)^{X'},\ \mathbb{E}(z^{2X+2Y})=\mathbb{E}(z^{2X}(q'+p'z)^{20-X})=(q'+p'z)^{20}\mathbb{E}\left(\left(\frac{z^2}{q'+p'z}\right)^X\right)=(q(q'+p'z)+pz^2)^{20}.$$

X et W suivent la même loi B(20;1/k) (W étant la v.a. égale au nombre de bonnes réponses obtenues lors du deuxième choix)
On a Y=0,5W (ce qui veut dire par exemple que P(Y=10)=P(W=20), P(Y=9,5)=P(W=19)... )
On ne demande pas la loi de Z.
E(Z)= E(X+0,5W)=E(X)+0,5E(W)=20/k+10/k=30/k
Donc E(Z)=5 pour k=6

Je pense que cet exercice est beaucoup plus compliqué que ça. Je pense même que l'auteur de l'exercice n'était pas conscient de la difficulté, sinon il n'aurait pas proposé cet exercice.

Notons q le nombre de questions, et , comme dans l'énoncé, k, le nombre de réponses possibles pour chaque question
Ici , on a q=20 questions. 20, c'est à la fois trop grand pour faire des calculs précis, et trop petit pour faire certaines approximations. Je vais donc supposer qu'on a q=1000 questions, au lieu de 20.
On essaiera de revenir à la fin au cas q=20

Et pour fixer les idées, disons que k = 10 (10 réponses possibles à chaque question).
- La loi de X , c'est facile. Bernouilli.
- L'espérance de X. On ne nous la demande pas à ce niveau, mais calculons-là quand même : E(X) = q/k = 100 dans mon exemple.
- La loi de Y.
Ca se gâte.
On pose un certain nombre de questions (environ 900 dans mon exemple), et pour chaque question, il y a k-1 réponses possibles.
On est donc 'à peu près' sur une loi de Bernouilli, avec $q\frac{k-1}{k}$ questions.

Je dis à peu près parce que certains élèves auront 850 questions, d'autres en auront 950, mais en moyenne, ce sera 900 questions par élève.
L'espérance de Y ?
1/2 * Nombre de questions * proba d'avoir bon à la question = $\frac{1}{2} * q\frac{k-1}{k} * \frac{1}{k-1}$ = $ \frac{q}{2*k}$
Est-ce que c'est une très bonne approximation ? ou une valeur exacte de l'espérance ? Je ne suis pas sûr à 100%. Mais c'est a-minima une très bonne approximation.
PS : Après un peu plus de réflexion, c'est une valeur exacte.

Proba que la moyenne des notes soit supérieure ou égale à 5/20.
Transposé à mon cas, il faut donc une moyenne supérieure ou égale à 250/1000.
Donc $\frac {1000}{k} + \frac{1000}{2*k} \ge 250 $
Soit $ \frac{3000}{2*k} \ge 250 $
Soit $ k \le 6 $

Il faut donc au maximum 6 réponses possibles à chaque question pour que les élèves aient une moyenne au moins égale à 250 sur 1000.

Si on revient au cas initial, avec 20 questions, et 6 réponses possible à chaque question, les élèves auront en moyenne 3.33 bonnes réponses au 1er tour. Certains auront donc 17 questions lors du 2ème passage, d'autres en auront 16, voire 15 voire 18 ...
Peut-on dire que cette 2ème question est une expérience de Bernouilli avec 16.67 questions et 5 réponses possibles ?
Bof, ça ma plait moyennement.

Comprends pas les tartines de ce fil : on vous a offert une solution en 4 lignes ci dessus.

Des miennes bien sur. Et les tartines ne sont pas seulement celles de l'etudiant. Quant aux quatre lignes, elles sont facilement adaptables au niveau demande: X binomiale, 2Y |X=i binomiale aussi etc.

P.,

puisque c'est rédigeable au niveau ECE et que manifestement l'auteur de la question n'est pas en L3 ou M1, pourquoi avoir rédigé ainsi.
Et si du coup, ça prend 6 lignes, la proposition de Biely aussi et elle n'est pas plus longue. Au fait, ne serait-ce pas ce que tu rédigerais ? On attend de voir.

Cordialement.

Z est le nombre total de points obtenus!