Processus de Markov

Fulgrim · October 2019

Bonsoir à tous,
J'aimerais résoudre l'exercice suivant :

Soient $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ iid de loi à densité $q$, et $S_n=\sum^nX_i$ les sommes partielles.
Montrer que $(S_n)$ est un processus de Markov et donner sa fonction de transition.

La correction est très cavalière, on y écrit, pour $n$ entier, $x$ réel et $\Gamma$ borélien :
\begin{align*}
\mathbb{P}(S_n+X_{n+1} \in \Gamma\mid S_n=x)&=\mathbb{P}(x+X_{n+1} \in \Gamma\mid S_n=x) \\
&=\mathbb{P}(x+X_{n+1} \in \Gamma)\\
&=\int_\Gamma q(y-x)dy\\
& :=\mathit{P}(n,x,n+1,\Gamma).

\end{align*} J'aimerais, pour une première fois, comprendre rigoureusement pourquoi chaque égalité est vraie.

Déjà au départ, j'aimerais montrer (définition d'un PdM de transition $\mathit{P}$) que $\mathbb{P}(S_m \in\Gamma\mid S_n)=\mathit{P}(n,S_n,m,\Gamma)$, ou bien (CNS pour être un PdM de transition $\mathit{P}$ ) que $\mathbb{P}(S_m \in\Gamma\mid\mathcal{F}_{\leqslant_n})=\mathit{P}(n,S_n,m,\Gamma)$. Du coup pourquoi puis-je me limiter à $m=n+1$ ? Et surtout : pourquoi puis-je conditionner par les évènements de mesure nulle $(X_n=x)$ ??

Ensuite pour l'égalité 2, les évènements $(x+X_{n+1} \in \Gamma)$ et $(S_n=x)$ sont bien indépendants, mais je sais pas, l'argument me paraît douteux, surtout que le conditionnement est de mesure nulle.

Voilà, j'aimerais comprendre pourquoi ce calcul est justifié, merci !

marsup · October 2019

$$\mathbb{P}(S_n+X_{n+1} \in \Gamma~|~S_n=x)=\mathbb{P}(x+X_{n+1} \in \Gamma~|~S_n=x)$$ $\to$ Pas grand chose à dire pour celle-ci...

$$\mathbb{P}(x+X_{n+1} \in \Gamma~|~S_n=x)=\mathbb{P}(x+X_{n+1} \in \Gamma)$$ $\to$ Eh bien l'événement conditionné est $X_{n+1}$-mesurable, avec $X_{n+1}$, qui est indépendante de $S_n$ par le lemme des coalitions.

$$\mathbb{P}(x+X_{n+1} \in \Gamma)=\int_\Gamma q(y-x)dy
$$ $\to$ J'intègre la densité sur le borélien...

$$\int_\Gamma q(y-x)dy :=\mathit{P}(n,x,n+1,\Gamma)
$$ Dans la formule à gauche, il y a :
du $n$ (pas vraiment, mais bon !)
du $x$
du $n+1$ (pas vraiment, mais bon !)
du $\Gamma$,
et rien d'autre !! (enfin si, du $q$, mais bon !)

Fulgrim · October 2019

Merci pour tes réponses, c'est vrai que mes questions n'étaient pas très profondes, je crois que j'étais fatigué...

Mais ma principale interrogation reste. C'est sans-doute évident, mais je n'arrive pas à justifier clairement pourquoi, lorsqu'on veut calculer une espérance conditionnelle, on peut "évaluer" en $x$ cette espérance.

Je veux calculer $g(S_n):=\mathbb{P}(S_n+X_{n+1} \in \Gamma\mid S_n)$. Pourquoi ai-je le droit de calculer $\mathbb{P}(S_n+X_{n+1} \in \Gamma\mid S_n=x)$? Car $g(S_n)$ est une fonction de la variable $\omega$, pas $x$.

Autre exemple : $X$ et $Y$ sont indépendantes de loi $\mu$ et $\nu$, je veux calculer $\mathbb{E}(f(X+Y)|X)$ pour $f$ mesurable bornée.
Et bien je peux calculer $$\mathbb{E}(f(X+Y)|X=x)=\mathbb{E}(f(x+Y)|X=x)=\mathbb{E}(f(x+Y))=\int_\mathbb{R} f(x+y)d\nu(y)$$
Je comprends le calcul, mais je ne comprends pas pourquoi on peut rigoureusement en déduire que $$\mathbb{E}(f(X+Y)|X)=\int_\mathbb{R} f(X+y)d\nu(y).$$
J'imagine que c'est très simple, mais je n'arrive pas à le justifier rigoureusement avec la définition d'une espérance conditionnelle.

Fulgrim · October 2019

Je relance cette discussion parce que j'aimerais vraiment comprendre ce qui justifie ça.

Pas vraiment besoin de relire ce qu'il y a plus haut, en fait ma question se résume à :

$X$ et $Y$ sont indépendantes de loi $\mu$ et $\nu$, je veux calculer $\mathbb{E}(f(X+Y)|X)$ pour $f$ mesurable bornée.
Et bien je peux calculer $$\mathbb{E}(f(X+Y)|X=x) \qquad \left( =\mathbb{E}(f(x+Y)|X=x)=\mathbb{E}(f(x+Y))=\int_\mathbb{R} f(x+y)d\nu(y) \right) $$
J'ai mis des parenthèses car le calcul est anecdotique, ce qui m'intéresse c'est comment passer de la connaissance de $\mathbb{E}(f(X+Y)|X=x)$ à celle de $\mathbb{E}(f(X+Y)|X)$, vu que ce n'est pas une fonction de $x$.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer car je n'arrive pas à la faire dériver de la définition d'une espérance conditionnelle

, merci.

Riemann_lapins_cretins · October 2019

L'écriture "sachant X=x" doit plus être vue comme une notation commode mais pas comme quelque chose de rigoureux.

Le lemme de Doob affirme que l'espérance conditionnée par X est fonction de X. De plus, dans le cas discret cette fonction correspond à la vraie probabilité conditionnée par l'événement "X=x". D'où l'écriture. En général ça n'a pas sens au niveau de la probabilité conditionnelle ("X=x" est souvent de probabilite nulle), mais la notation est faite pour avoir le droit de dire ce que l'intuition commande.

La fonction que tu appelles g de X est une fonction définie sur les réels, bien que g(X) prenne un oméga en argument. Je crois que le complicage de vie vient de là : g est bien définie sur les réels donc on peur l'évaluer en x !

Edit : je viens de voir la date, désolé du up

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