Construction d'une fonction non mesurable

Le fustré · October 2019

Bonsoir, j'aimerais contruire une fonction mesurable bornée sur $[0\; T]$ dont le sup sur $[0\; T] $ n'est pas mesurable.
J'ai une idée mais je n'arrive pas à bien l'ecrire. Là voici:
Puisque la mesure de Lebesgue de $[0\; T]$ est positive d'après Vitali, il existe $A\subset [0\; T ] $ non mesurable. Et donc je sais que \[\sup_{x\in A}1_{x}=1_A\] n'est pas mesurable.
J'aimerais écrire ça comme une fonction $f $ mesurable bornée dont \[\sup_{t\in [0\; T ]}|f (t)| \]ne soit pas mesurable.
Merci d'avance pour votre aide.

Le fustré · November 2019

Bonjour, je crois que j'ai mal posé mon problème.
On note $\mathcal {B}(L^\infty ([0\; T ])) $ la tribu des Boréliens pour la topologie de la norme uniforme sur $[0,\; T ]$.
$\mathcal{C}$ la plus petite tribu sur $L^\infty([0,\; T ]) $ rendant mesurable les applications $ x\mapsto x (t)$ pour tout $t\in [0,\;T] $.
On se demande si $\mathcal{C} $ coincide avec $\mathcal{B}(L^\infty ([0,\; T ]) $.
J'ai montrer que $\mathcal{C}$ est contenu dans $\mathcal {B}(L^\infty ([0\; T ]) $ car les applications coordonnées sont continues.
Pour la réciproque, dis que c'est vrai cela entraînerait que l'application qui a $f\mapsto\sup_{t\in [0,\;T]}|f(t)|$ est $\mathcal{C} $-mesurable.
Ce que je ne pense pas toujours vrai.

Krokop · November 2019

Soit $H$ non mesurable de $]0,T]$, $U\times \Omega=]0,T]\times]0,T].$ On définit ensuite $$ G:=\{(x,\omega)\in U\times \Omega\mid \exists n\in\mathbb{N},\ \omega=nx \}$$ et $f:U\times \Omega\to ]0,T]$ l'indicatrice sur $G\cap (U\times \Omega).$ Si on pose $h:\Omega\to \overline{\mathbb{R}}^+$ définie par $h(\omega)=\sup_{x\in U}\vert f(x,\omega)\vert$ alors $h={\bf 1}_H.$

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