Suites de variables aléatoires de même loi
Bonjour à tous,
Dans le cadre d'un exercice de probabilités, on se retrouve dans la situation suivante: on considère une suite $(X_n)_{n \geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur $\{1, -2 \}$. On pose $S_0 = 0$ et pour tout $n \geq 1$, $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$. Dans le corrigé, il est affirmé que $\tilde{S} := (S_{n+1}-S_1)_{n \geq 0}$ suit la même loi que $(S_n)_{n \geq 0}$, et qu'en outre, $\tilde{S}$ est indépendante de $S_1$. Je ne vois pas d'où ça vient (le fait que $\tilde{S}$ suive la même loi que $(S_n)_{n \geq 0}$ ET le fait que $\tilde{S}$ soit indépendante de $S_1$)... Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment justifier cela correctement?
De façon plus générale, si $(A_n)_{n \geq 0}$ et $(B_n)_{n \geq 0}$ sont deux suites de variables aléatoires telles que pour tout $n \geq 0$, $A_n$ et $B_n$ suivent la même loi, est-ce que les variables $A:=(A_n)_{n \geq 0}$ et $B:=(B_n)_{n \geq 0}$ suivent la même loi? Je pense que non, mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple.
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Dans le cadre d'un exercice de probabilités, on se retrouve dans la situation suivante: on considère une suite $(X_n)_{n \geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur $\{1, -2 \}$. On pose $S_0 = 0$ et pour tout $n \geq 1$, $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$. Dans le corrigé, il est affirmé que $\tilde{S} := (S_{n+1}-S_1)_{n \geq 0}$ suit la même loi que $(S_n)_{n \geq 0}$, et qu'en outre, $\tilde{S}$ est indépendante de $S_1$. Je ne vois pas d'où ça vient (le fait que $\tilde{S}$ suive la même loi que $(S_n)_{n \geq 0}$ ET le fait que $\tilde{S}$ soit indépendante de $S_1$)... Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment justifier cela correctement?
De façon plus générale, si $(A_n)_{n \geq 0}$ et $(B_n)_{n \geq 0}$ sont deux suites de variables aléatoires telles que pour tout $n \geq 0$, $A_n$ et $B_n$ suivent la même loi, est-ce que les variables $A:=(A_n)_{n \geq 0}$ et $B:=(B_n)_{n \geq 0}$ suivent la même loi? Je pense que non, mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple.
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Réponses
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Pour la deuxième question, non :
Si $A = \pm(1,1,1,1,\dots)$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ pour chaque signe $\pm$,
et $B = \pm(1,-1,1,-1,\dots)$, avec probabilité $\frac{1}{2}$ pour chaque signe $\pm$.
Chaque coordonnée vaut $\pm 1$ avec proba $\frac{1}{2}$, mais les vecteurs-suites $A$ et $B$ n'ont pas la même loi.
Ce qui fait marcher les choses ton premier exemple, c'est qu'il y a indépendance mutuelle des $X_i$, et donc que les vecteurs-suites $(X_1,X_2,X_3,\dots)$ et $(X_2,X_3,X_4\dots)$ ont donc même loi.
À partir de là, les deux vecteurs-suites $S$ et $\tilde S$ sont construites de la même manière donc ont aussi même loi.
Le fait que $\tilde S$ est indépendante de $X_1$ c'est que dans $\tilde S$, $X_1$ n'intervient pas, mais seulement des choses qui en sont indépendantes. (lemme des coalitions) -
@marsup Merci pour votre réponse. J'ai compris votre contre-exemple et le fait que $\tilde{S}$ est indépendante de $S_1$. Par contre, je ne vois toujours pas comment justifier rigoureusement l'implication
$$\text{indépendance mutuelle des } X_i \implies (X_1, X_2, X_3, \ldots) \text{ et } (X_2, X_3, X_4, \ldots) \text{ ont la même loi.}$$
Pourriez-vous détailler ce raisonnement? De plus, que voulez-vous dire par "$S$ et $\tilde{S}$ sont construites de la même manière"? -
Eh bien soit $U = (X,Y)$.
Si je connais la loi de $X$ et celle de $Y$ (lois marginales), je ne connais pas la loi de $U$.
SAUF si $X,Y$ sont indépendantes. Sous cette hypothèse, la loi de $U$ est obtenue en tensorisant celles de $X$ et de $Y$ (mesure produit)
Pour faire rigoureusement, ça doit dépendre de la définition que tu as de la loi de ton vecteur-suite infini, mais l'argument est le même : la loi d'un multiplet indépendant est une mesure produit des lois marginales.
Sinon, $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, et $\tilde S_n = \sum_{k=1}^n X_{k+1}$.
C'est la même opération $S = \phi(X_1,\dots,X_n,\dots)$ et $\tilde S = \phi(X_2,\dots,X_{n+1},\dots)$ pour les deux ! -
@marsup Après relecture de mon cours (niveau prépa, donc on se limite entre autres aux variables aléatoires discrètes), je me suis rendu compte qu'il n'y avait pas de définition de la loi d'un vecteur-suite infini... De plus, je me suis rendu compte qu'en fait ça n'était pas si simple d'en définir une... Si par exemple je considère mon vecteur $X = (X_1, X_2, \ldots )$ et si les $X_i$ suivent toutes une loi uniforme sur $\{1, -2 \}$, alors $X$ est à valeurs dans $\{1, -2 \}^{\mathbb{N}}$, mais il se peut très bien que pour tout $(x_1, x_2, \ldots ) \in \{1, -2 \}^{\mathbb{N}}$, on ait $\mathbb{P}(X=(x_1, x_2, \ldots ))= \mathbb{P}(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \ldots )=0$, donc si je somme tous les événements élémentaires (si cette somme est bien définie, ce dont je ne suis pas certain...) on obtient une somme de termes tous égaux à $0$ et donc $\mathbb{P} \left( \{1, -2 \}^{\mathbb{N}} \right) = 0 \neq 1$, ce qui est absurde... Comment s'en sort-on? Comment définit-on la loi d'un vecteur-suite infini (dans le cadre du programme de prépa, donc pour des variables aléatoires discrètes)?
Pour info, l'exercice en question et le corrigé qui introduit ces vecteurs-suites infinis se trouvent ici: http://www.normalesup.org/~bureaux/ulm2019/1.html
Merci d'avance pour vos réponses! -
Moi, je dis la chose suivante : je sais définir l'indépendance mutuelle pour une suite finie de variables aléatoires discrètes.
Pour la définir (l'indépendance mutuelle) pour une suite infinie, je demande que toutes les sous-suites finies soient mutuellement indépendantes.
Il revient au même de demander que pour tout $n\ge 0$, le vecteur extrait des $n$ premières composantes soit mutuellement indépdant. -
Cher Adrien, la loi d'une suite de variables aléatoires correspond à la donnée de la loi de toutes ses sous-suites finies (comme pour l'indépendance). Cela suffit à déterminer la probabilité image sur la tribu produit.
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