Suites de variables aléatoires de même loi
Bonjour à tous,
Dans le cadre d'un exercice de probabilités, on se retrouve dans la situation suivante: on considère une suite $(X_n)_{n \geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur $\{1, -2 \}$. On pose $S_0 = 0$ et pour tout $n \geq 1$, $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$. Dans le corrigé, il est affirmé que $\tilde{S} := (S_{n+1}-S_1)_{n \geq 0}$ suit la même loi que $(S_n)_{n \geq 0}$, et qu'en outre, $\tilde{S}$ est indépendante de $S_1$. Je ne vois pas d'où ça vient (le fait que $\tilde{S}$ suive la même loi que $(S_n)_{n \geq 0}$ ET le fait que $\tilde{S}$ soit indépendante de $S_1$)... Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment justifier cela correctement?
De façon plus générale, si $(A_n)_{n \geq 0}$ et $(B_n)_{n \geq 0}$ sont deux suites de variables aléatoires telles que pour tout $n \geq 0$, $A_n$ et $B_n$ suivent la même loi, est-ce que les variables $A:=(A_n)_{n \geq 0}$ et $B:=(B_n)_{n \geq 0}$ suivent la même loi? Je pense que non, mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple.
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Dans le cadre d'un exercice de probabilités, on se retrouve dans la situation suivante: on considère une suite $(X_n)_{n \geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur $\{1, -2 \}$. On pose $S_0 = 0$ et pour tout $n \geq 1$, $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$. Dans le corrigé, il est affirmé que $\tilde{S} := (S_{n+1}-S_1)_{n \geq 0}$ suit la même loi que $(S_n)_{n \geq 0}$, et qu'en outre, $\tilde{S}$ est indépendante de $S_1$. Je ne vois pas d'où ça vient (le fait que $\tilde{S}$ suive la même loi que $(S_n)_{n \geq 0}$ ET le fait que $\tilde{S}$ soit indépendante de $S_1$)... Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment justifier cela correctement?
De façon plus générale, si $(A_n)_{n \geq 0}$ et $(B_n)_{n \geq 0}$ sont deux suites de variables aléatoires telles que pour tout $n \geq 0$, $A_n$ et $B_n$ suivent la même loi, est-ce que les variables $A:=(A_n)_{n \geq 0}$ et $B:=(B_n)_{n \geq 0}$ suivent la même loi? Je pense que non, mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple.
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
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Réponses
Si $A = \pm(1,1,1,1,\dots)$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ pour chaque signe $\pm$,
et $B = \pm(1,-1,1,-1,\dots)$, avec probabilité $\frac{1}{2}$ pour chaque signe $\pm$.
Chaque coordonnée vaut $\pm 1$ avec proba $\frac{1}{2}$, mais les vecteurs-suites $A$ et $B$ n'ont pas la même loi.
Ce qui fait marcher les choses ton premier exemple, c'est qu'il y a indépendance mutuelle des $X_i$, et donc que les vecteurs-suites $(X_1,X_2,X_3,\dots)$ et $(X_2,X_3,X_4\dots)$ ont donc même loi.
À partir de là, les deux vecteurs-suites $S$ et $\tilde S$ sont construites de la même manière donc ont aussi même loi.
Le fait que $\tilde S$ est indépendante de $X_1$ c'est que dans $\tilde S$, $X_1$ n'intervient pas, mais seulement des choses qui en sont indépendantes. (lemme des coalitions)
$$\text{indépendance mutuelle des } X_i \implies (X_1, X_2, X_3, \ldots) \text{ et } (X_2, X_3, X_4, \ldots) \text{ ont la même loi.}$$
Pourriez-vous détailler ce raisonnement? De plus, que voulez-vous dire par "$S$ et $\tilde{S}$ sont construites de la même manière"?
Si je connais la loi de $X$ et celle de $Y$ (lois marginales), je ne connais pas la loi de $U$.
SAUF si $X,Y$ sont indépendantes. Sous cette hypothèse, la loi de $U$ est obtenue en tensorisant celles de $X$ et de $Y$ (mesure produit)
Pour faire rigoureusement, ça doit dépendre de la définition que tu as de la loi de ton vecteur-suite infini, mais l'argument est le même : la loi d'un multiplet indépendant est une mesure produit des lois marginales.
Sinon, $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$, et $\tilde S_n = \sum_{k=1}^n X_{k+1}$.
C'est la même opération $S = \phi(X_1,\dots,X_n,\dots)$ et $\tilde S = \phi(X_2,\dots,X_{n+1},\dots)$ pour les deux !
Pour info, l'exercice en question et le corrigé qui introduit ces vecteurs-suites infinis se trouvent ici: http://www.normalesup.org/~bureaux/ulm2019/1.html
Merci d'avance pour vos réponses!
Pour la définir (l'indépendance mutuelle) pour une suite infinie, je demande que toutes les sous-suites finies soient mutuellement indépendantes.
Il revient au même de demander que pour tout $n\ge 0$, le vecteur extrait des $n$ premières composantes soit mutuellement indépdant.