Variables indépendantes normales
Bonjour
Soit $X$ et $Y$ deux variables suivant la loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ dépendants. Est ce qu'on peut trouver deux fonctions $f$ et $g$ telles que $f(X)$ et $g(Y)$ soient normales et indépendantes .
Merci d'avance
Soit $X$ et $Y$ deux variables suivant la loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ dépendants. Est ce qu'on peut trouver deux fonctions $f$ et $g$ telles que $f(X)$ et $g(Y)$ soient normales et indépendantes .
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Réponses
Let $(Y_1,Y_2)\sim N(0,\Sigma_r).$ Let $f_1$ and $f_2$ be two real measurable functions such that $\mathbb{E}(f_i(Y_i)^2)$ are finite for $i=1,2.$ Consider the Hermite polynomials $(H_k)_{k=0}^{\infty}$ defined by the generating function
$$e^{xt-\frac{t^2}{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}H_k(x)\frac{t^k}{k!}$$ and the expansion
$$f_1(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_k\frac{H_k(x)}{\sqrt{k!}},\ f_2(x)=\sum_{k=1}^{\infty}b_k\frac{H_k(x)}{\sqrt{k!}}.$$ Then for all $-1\leq r\leq 1$
$$\mathbb{E}(f_1(Y_1)f_2(Y_2))=\sum_{k=1}^{\infty}a_kb_kr^k.$$
{Proof.} Let us compute
$$\mathbb{E}(e^{Y_1t-\frac{t^2}{2}}e^{Y_2s-\frac{s^2}{2}})= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}\frac{s^m}{m!}\mathbb{E}(H_k(Y_1)H_m(Y_2))$$
For this, write $r=\cos \theta$ with $0\leq \theta\leq \pi.$ If $Y_1,Y_3$ are independent centered real Gaussian random variables with variance 1, then $Y_2=Y_1\cos \theta +Y_3\sin \theta $ is centered with variance 1, $(Y_1,Y_2)$ is Gaussian and $\mathbb{E}(Y_1Y_2)=\cos \theta.$
Furthermore a simple calculation using the definition of $Y_2$ gives $$\mathbb{E}(e^{Y_1t-\frac{t^2}{2}}e^{Y_2\; s-\frac{s^2}{2}})=e^{ts\cos \theta}$$
This shows that
$\mathbb{E}(H_k(Y_1)H_m(Y_2))=0$ if $k\neq m$ and that $\mathbb{E}(H_k(Y_1)H_k(Y_2))=k!\cos^k \theta.$ From this we get the result. $\square$
c'est quoi $\displaystyle{\sum_r=[1,r;r,1]}$ ?
tu peux me donner des references ?
Merci d'avances