Quels sont les éléments d'un espace mesurable
Salut à tous
pour moi un espace mesurable est tout simplement: un couple de la forme (X,m)...
où: X est un ensemble quelconque et m est une tribu sur X
jusqu'ici tout est clair.
mais lorsqu'on a traité la notion de fonctions définies sur un espace mesurable et a valeur dans un autre
je me suis perdu !!!!!
puisque je n'ai aucune idée sur la nature des éléments d'un espace mesurable,
est-ce qu'ils sont des éléments de la tribu m
ou bien ce ne sont que des éléments (ordinaires) de l'ensemble X
pour moi un espace mesurable est tout simplement: un couple de la forme (X,m)...
où: X est un ensemble quelconque et m est une tribu sur X
jusqu'ici tout est clair.
mais lorsqu'on a traité la notion de fonctions définies sur un espace mesurable et a valeur dans un autre
je me suis perdu !!!!!
puisque je n'ai aucune idée sur la nature des éléments d'un espace mesurable,
est-ce qu'ils sont des éléments de la tribu m
ou bien ce ne sont que des éléments (ordinaires) de l'ensemble X
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Dès lors qu'on s'intéresse à une structure, il apparaît la notion de morphisme. Tu connais ce mot de ton cours d'algèbre (morphisme de groupes, morphisme de corps...). Mais on peut l'utiliser en dehors de l'algèbre si on se dit qu'un morphisme d'une certaine structure, c'est une application entre deux ensembles qui peuvent être munis de cette structure et qui la préservent (bon, là, il faut réfléchir ce que ça veut dire en fonction de la structure).
Un morphisme d'espaces vectoriels, c'est une application qui préserve "le truc propre aux espaces vectoriels", donc les combinaisons linéaires. On appelle ça une application linéaire.
Un morphisme d'espaces topologiques, ça préserve (entre autres) les ouverts, on appelle ça une application continue. Et un morphisme d'espaces mesurables, ça préserve les parties mesurables, on appelle ça une application mesurable.
Mais tout comme un morphisme de groupes entre $(\mathbb{R},+)$ et $(\mathbb{Z},+)$ est une application $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{Z}$ qui vérifie des conditions supplémentaires, une application entre deux espaces mesurables est définie entre les ensembles sous-jacents à ces espaces mesurables, tout simplement (et on peut lui imposer des conditions supplémentaires si on veut qu'elle soit mesurable).
"une application f : (X,M) --> (Y,N) entre deux espaces mesurables...
est tout simplement une app définie entre les ensembles sous-jacents à ces espaces mesurables."
en d'autres termes:
si on considère f(x)
alors le (petit) x,
est un élément (ordinaire) appartenant à X
mais pas un sous-ensemble inclus dans X
Une autre chose que je voudrais savoir est :
Anyway pour que je sois plus précis ce qui m'a causé un problème de compréhension c'est le début d'une démonstration du "principe de recollement mesurable"
la voilà dans l'image ci dessous:
il me paraît que si l'on dispose d'une partition quelconque de l'espace alors les Ai ne sont pas forcément des éléments de la tribu m
par exemple: Soit X={a,b,c} et A={b,c}
alors en notant par m la tribu engendrée par la partie A
on aura: m = { le vide , A , {a} , X }
en considérant la partition constituée des singletons
càd : (Ai)i = { (a), (b), (c) }
cette partition comporte des éléments [large]([/large][small]{b} et {c}[/small][large])[/large] qui ne sont pas dans la tribu m
!!!!!!!!!!!!!!!!!