Suite tendue

On a $\phi_X(t) = \int_\R e^{itx} \mathrm d \mathbb P_X(x)$, sous les bonnes hypothèses on sait que $\phi_X'(0)= i \mathbb E(X) $ et $\phi_X(0)=1$ donc si l'on suppose que $\mathbb E(X) = 0$ on en déduit $|1-\phi_X(t)|= o(t)$ au voisinage de $0$ et le résultat s'en déduit. Si $\mathbb E(X)\neq 0$ le résultat est faux. Edit : voir mon message suivant.

Je dois être fatigué, la condition $|\phi_X(t) -1|=o(1)$ au voisinage de $0$ suffit, donc la continuité de la fonction caractéristique en $0$ est bien suffisante.

$\phi_X(t)= \mathbb E(e^{itX})$ donc $\phi_X(0) = \mathbb E(1) =1$ et par continuité $\lim_{t\to 0} |\varphi_X(t)-1| = 0 $ ce qui revient exactement à dire que $|\varphi_X(t) -1|=o(1)$ au voisinage de $0$.

Pour faire ce procédé d'extraction diagonal il faut forcément que l'on ne considère qu'une quantité dénombrable de suites. Si tu écris le raisonnement en détail tu le verras tout de suite. On est donc bien obligé de prendre $q$ dans $\Q$ et pas dans $\R$.

Ah, tu n'as pas bien compris le démonstration en fait. La suite $(n_k)_k$ construite par l'auteur est telle que $F_{n_k}$ soit convergente en tout point rationnel, pas juste un seul. Voilà comment ça marche :
Pour tout entier $k\in \N$ on se donne une suite $(u_n^k)_{n\in \N}$ de réels bornée. On sait qu'on peut extraire une sous-suite $(\sigma_0(n))_n$ telle que $(u_{\sigma_0(n)}^0)_n$ soit convergente. On peut ensuite extraire une sous-suite de $(\sigma_0(n))_n$ qu'on note $(\sigma_1(n))_n$ telle que $(u_{\sigma_1(n)}^1)_n$ soit convergente. On recommence ainsi de suite pour créer des sous-suites $(\sigma_k(n))_n$ telles que $(u_{\sigma_k(n)}^j)_n$ soit convergente pour tout $j\leq k$. Le "procédé diagonal" consiste alors à définir la sous-suite $(\sigma(n))_n = (\sigma_n(n))_n$, par construction $(u_{\sigma(n)}^k)_n$ est convergente pour tout entier $k$. Le fait qu'on ait une quantité au plus dénombrable de suites $(u_n^k)_n$ est fondamental.