Convergence de densités
Bonjour,
quelqu'un aurait un exemple d'une suite de V.A Xn de densités fn qui convergence en loi vers X de densité f. Mais dont la densité fn ne converge pas vers f presque surement ?
Merci
quelqu'un aurait un exemple d'une suite de V.A Xn de densités fn qui convergence en loi vers X de densité f. Mais dont la densité fn ne converge pas vers f presque surement ?
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Réponses
Ta question se reformule ainsi : on dispose d'une suite de densités $(f_n)_n$ et d'une densité $f$ telles que la suite de fonctions $\left(x \mapsto \int_{-\infty}^x f_n\right)_n$ converge simplement vers $x \mapsto \int_{-\infty}^x f$ en les points de continuité de cette dernière, alors $(f_n)_n$ converge-t-elle simplement (ou presque) vers $f$ ? Pour construire un contre-exemple, il semble suffisant de construire un contre-exemple à l'assertion "convergence simple implique convergence simple des dérivées".
Soient $(f_n)\to f_\infty$ presque partout, avec $f_n,\forall n$, et $f_\infty$ fonctions densités (mesurables d'intégrale 1),
Alors il y a convergence en loi. (et aussi convergence $L^1$)
Donc ici, ce que tu demandes, c'est de démontrer que la réciproque du lemme de Scheffé n'est pas vraie. (je ne sais pas)
Enfin, en cherchant sur un moteur de recherche "Scheffé lemma converse", j'ai trouvé ceci : https://projecteuclid.org/euclid.aos/1176346604
Ce lemme nous dit que, réciproquement, lorsqu'il y a convergence en loi d'une suite de variables de densités $f_n,n\in\N$ vers une variable à densité $f_\infty$, il suffit d'avoir
$f_n(x)\le M(x)$ majorée $\forall x$,
les $f_n$ uniformément équicontinues,
pour qu'on ait bien $f_n \to f_\infty$ presque partout (en fait uniformément sur tout compact).
Merci P. ton exemple fonctionne.
Effectivement j'ai su après qu'il s'agissait de montrer que la réciproque du lemme est fausse. En tout cas merci bien pour le lien, je n'avais pas étudié la réciproque. Et en pplus le contre exemple se trouve encore plus vite