Matrice de passage

jeancreatif · November 2019

Bonjour à tous
Qui peut me dire quoi faire lorsqu'on est bloqué dans un calcul matriciel.

Il s'agit d'une matrice 4*4. Je cherche à faire P^-1 (à partir de la matrice de passage), mais la calculatrice refuse, car la matrice P n'est pas carrée.
Elle comporte 2 colonnes et 4 lignes...

paf · November 2019

Une matrice non-carrée n'a pas d'inverse donc si ta matrice a 2 colonnes et 4 lignes, son inverse n'existe pas. Par contre, si c'est une matrice 4*4, c'est-à-dire avec 4 lignes et 4 colonnes, c'est une autre affaire...

jeancreatif · November 2019

Je le vois bien, c'est pourquoi je demande s'il y a une solution de rechange...

Dom · November 2019

Je pense que poster l’exercice est pertinent dans ce cas.

gerard0 · November 2019

Oui, car une matrice 4 x 4 qui n'a que deux colonnes, c'est rare !

jeancreatif · November 2019

Quelle imagination Gerardo !

La matrice A comporte 4 colonnes, mais sa matrice P, 2 seulement. Cela arrive...

  A:    1 1 0 0                                    
        1 0 1 0
        1 0 0 1 
        0 0 0 1

  P: 1        1              
     0.83929  1
     0.5437   1
     2.E-13   1

Polynôme X⁴ - 3X³ + X² + X + 2

marsup · November 2019

Est-ce que tu as une formule du genre $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$ ?

Par exemple une situation où tu n'aurais trouvé que deux vecteurs propres de $A$ pour la diagonaliser ?

jeancreatif · November 2019

Oui Marsup, exactement.

marsup · November 2019

marsup · November 2019

Il y a des valeurs propres complexes. Ta matrice n'est pas diagonalisable sur $\R$.

--> [P,D] = spec(A)
D =

1.8392868  0.                       0.                     0.
0.         -0.4196434 + 0.6062907i  0.                     0.
0.         0.                      -0.4196434 - 0.6062907i 0.
0.         0.                       0.                     1.

P =

-0.7071068  -0.4024298 - 0.1718667i  -0.4024298 + 0.1718667i  -0.4082483
-0.5934654  0.6755079                0.6755079                 0.
-0.3844462  0.1189573 + 0.5814209i   0.1189573 - 0.5814209i    0.4082483
0.          0.                       0.                        0.8164966

GaBuZoMeu · November 2019

Comment veux-tu fabriquer une matrice de changement de base si tu n'as pas une base, mais seulement deux vecteurs ?
En plus, tu t'es trompé dans ton calcul de polynôme caractéristique (si c'est bien ça que tu indiques par "Polynôme").

jeancreatif · November 2019

Bravo Marsup !
Tu devances ce que je voulais faire (faute de mieux).
Transformer les nombres en complexes.
Comment as-tu fait pour les trouver ?
Mais déception, cela ne nous avance à rien ?

jeancreatif · November 2019

Marsup, comment faire pour que ma disposition soit parfaite comme la tienne?

( je suppose que c'est une incompatibilité Mac, PC)

Par ailleurs, dès que j utilise la fonction exposant, toute la ligne devient petite. Bref je ne sais pas m'en servir)

jeancreatif · November 2019

Excuse moi Marsup
faute de frappe dans A

1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 0 0 2

gerard0 · November 2019

Jeancreatif a écrit:

Quelle imagination Gerardo!

Justement, je n'en ai aucune ! Et mon pseudo n'est pas gerardo mais gerard0.

C'est toi qui as beaucoup d'imagination quand tu écris sans réfléchir "La matrice A comporte 4 colonnes, mais sa matrice P, 2 seulement . Cela arrive... "
Cela arrive dans ton imagination, pas en maths. Cela arrive simplement parce qu'on n'applique pas les règles.

Désolé !!

marsup · November 2019

C'est pour quoi faire ?

Une histoire de chaîne de Markov ?

$A={\begin{pmatrix}1&1&0&0\cr 1&0&1&0\cr 1&0&0&1\cr 0&0&0&2\cr \end{pmatrix}}$
$D = {\begin{pmatrix}1.8392868&0&0&0\cr 0&-0.4196434+0.6062907i&0&0\cr 0&0&-0
.4196434-0.6062907i&0\cr 0&0&0&2\cr \end{pmatrix}}$
$P = {\begin{pmatrix}-0.7071068&-0.4024298-0.1718667i&-0.4024298+0.1718667i&0
.5\cr -0.5934654&0.6755079&0.6755079&0.5\cr -0.3844462&0.1189573+0.581420
9i&0.1189573-0.5814209i&0.5\cr 0&0&0&0.5\cr \end{pmatrix}}$

jeancreatif · November 2019

Merci beaucoup Marsup

Oui, en effet, c est une chaine de Markov.

Une petite colle: A ton avis, à quoi correspond 1,8392868, valeur propre de A ?

marsup · November 2019

Ça m'évoque de $\frac13 \left(1 + \sqrt[3]{19 - 3 \sqrt{33}} + \sqrt[3]{19 + 3 \sqrt{33}}\right)$.

(tu n'as pas internet ?)

jeancreatif · November 2019

Comment serais je ici sans internet?

Marsup,quand je multiplie P*D*P^-1, je ne retrouve pas A, ce qui n'est pas normal.

C'est pourquoi je te redemande si tu peux me donner P^-1.

jeancreatif · November 2019

gerard0 écrivait :

"Cela arrive simplement parce qu'on n'applique pas les règles."

De quelle règle parles-tu ?
Quand tu n'as que deux valeurs propres, comment obtiens-tu P avec 4 colonnes ?
( sauf à introduire des nombres imaginaires).

nicolas.patrois · November 2019

Ça n’a rien à voir.
Une matrice réelle 4×4 a quatre racines (complexes ou non) exactement, comptées avec leur multiplicité.
Une matrice non carrée n’a pas de valeur propre parce que la définition n’existe que pour des matrices carrées.

jeancreatif · November 2019

Nicolas.patrois, merci pour ta réponse, mais revenons à la case départ:

J'ai une matrice carrée 4 * 4 au départ. Elle n'a que deux valeurs propres:

1,832867552142 et 2. Donc, bien que carrée, elle n'a pas 4 valeurs propres comme tu

le dis. Maintenant si, grâce aux complexes, nous obtenons 2 valeurs propres de plus, c'est

autre chose.

Par ailleurs, ( je ne suis pas coutumier des calculs avec les complexes), ma matrice de départ A:

1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 0 0 2

est elle modifiée?

En effet, si je multiplie P*D*P^-1 ( en utilisant les complexes) je ne retrouve pas A

nicolas.patrois · November 2019

Elle a quatre valeurs propres, réelles ou complexes, comptées avec leur multiplicité.
Si tu ne retrouves pas A, c’est parfaitement normal.

(%i1)	A: matrix(
 [1,1,0,0], 
 [1,0,1,0], 
 [1,0,0,1], 
 [0,0,0,2]
);
(…)
(%i2)	eigenvalues(%);
(%o2)	[[(4*((sqrt(3)*%i)/2+(-1)/2))/(9*(sqrt(11)/3^(3/2)+19/27)^(1/3))+(sqrt(11)/3^(3/2)+19/27)^(1/3)*((-1)/2-(sqrt(3)*%i)/2)+1/3,(sqrt(11)/3^(3/2)+19/27)^(1/3)*((sqrt(3)*%i)/2+(-1)/2)+(4*((-1)/2-(sqrt(3)*%i)/2))/(9*(sqrt(11)/3^(3/2)+19/27)^(1/3))+1/3,(sqrt(11)/3^(3/2)+19/27)^(1/3)+4/(9*(sqrt(11)/3^(3/2)+19/27)^(1/3))+1/3,2],[1,1,1,1]]

jeancreatif · November 2019

Merci Nicolas. Patrois de me l'avoir confirmé.

A quoi correspond ta dernière ligne s'il te plait?

jeancreatif · November 2019

Merci de me donner ce nombre sous sa forme exacte.

Il est intimement lié à Fibonacci sous sa 2eme forme ( que je nomme F2)

1 1 2 4 7 13 24 ...

nicolas.patrois · November 2019

Ce sont les valeurs propres trouvée à l’aide des formules de Cardan, visiblement.
J’ai utilisé xwmaxima.

jeancreatif · November 2019

Merci Nicolas. En fait tes puissances 1/3 correspondent aux rac 3 de Marsup...

jeancreatif · November 2019

marsup écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1891950,1892394#msg-1892394
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Marsup (ou quelqu autre) sait-il comment (ou où) trouver la transformation d'une valeur approchée en valeur exacte comme ci-dessus avec 1,839286667 ?

Merci par avance à vous, ô puits de science.

Math Coss · November 2019

C'est un peu comme demander de reconstituer un cochon à partir du jambon, du saucisson et des oreilles. À une époque, il y avait une encyclopédie des constantes mathématiques maintenue par Simon Plouffe, ce qui permettait de retrouver les cochons au meilleur pedigree en goûtant la charcuterie qui en était tirée, mais je crois qu'elle n'est plus en ligne.

marsup · November 2019

Oui wolframAlpha la reconnaît et donne bien le lien suivant : http://mathworld.wolfram.com/TribonacciConstant.html

Math Coss · November 2019

Voici ce qui se passe sans pedigree : pour \[\frac13\left(1+
\sqrt[3]{19-3\sqrt{31}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{31}}\right)\simeq 1.87073556972918,\] Wolfram ne reconnaît rien de pertinent.

jeancreatif · November 2019

Merci beaucoup mais, Tribonacci il donne la valeur exacte, mais pour tetra 1,927561975 ?

jeancreatif · November 2019

Marsup : ces valeurs sont des valeurs approchées. Par conséquent elles donnent des résultats faux dans certains cas.

-0,4196433776+0,6062907292 i et les autres dans tes matrices.

J'ai du faire un gros travail pour obtenir des valeurs exactes.

marsup · November 2019

Il n'y a pas d'algorithme pour résoudre (exactement) les équations polynomiales à partir du degré $\ge5$.

probablement aussi mathematica ou R

mathematica ou R sont des logiciels d'utilisation très différentes.

R c'est pour les statistiques : les approximations y sont sans doute acceptables (résolution approximative "numérique")

mathematica (je ne connais pas trop) : je pense qu'il sait résoudre facilement par radicaux ton équation de degré 4 (mais c'est payant !), puisque wolfram.alpha y arrive sans bourse délier !

Sinon nicolas.patrois a l'air de savoir faire avec un logiciel de calcul formel (je crois que c'est sage, libre, open source, et gratuit, mais moi je ne sais pas faire !)

jeancreatif · November 2019

Marsup, il semble que j'ai parlé trop vite, car les valeurs données par Nicolas. Patrois paraissent exactes (je vais tout de même le vérifier).

La Ti a une fonction valeurs exactes en fait ( quel idiot je faisais.... )

JE REFUSE DE FAIRE PARTIE D UN CLUB QUI ACCEPTE UN TYPE COMME MOI

Groucho Marx

GaBuZoMeu · November 2019

SageMath fait des calculs exacts sur les nombres algébriques, comme il se doit pour un logiciel de calcul formel. À première vue, ça n'a pas l'air tout à fait exact :
In:

A=matrix(QQbar,[[1,1,0,0],[1,0,1,0],[1,0,0,1],[0,0,0,2]])
(D,P)=A.jordan_form(transformation=True)
Afake=P*D*P^(-1)
Afake

Out:

[ 1.0000000000000? + 0.?e-13*I  1.0000000000000? + 0.?e-13*I           0.?e-13 + 0.?e-13*I           0.?e-14 + 0.?e-14*I]
[ 1.0000000000000? + 0.?e-13*I           0.?e-13 + 0.?e-13*I  1.0000000000000? + 0.?e-13*I           0.?e-14 + 0.?e-14*I]
[ 1.0000000000000? + 0.?e-13*I           0.?e-13 + 0.?e-13*I           0.?e-13 + 0.?e-13*I 1.00000000000000? + 0.?e-14*I]
[          0.?e-13 + 0.?e-13*I           0.?e-13 + 0.?e-13*I           0.?e-13 + 0.?e-13*I 2.00000000000000? + 0.?e-14*I]

Mais pourtant :
In:

Afake==A

Out:

True

et si on force SageMath à écrire les rationnels comme des rationnels :
In:

Afake.change_ring(QQ)

Out:

[1 1 0 0]
[1 0 1 0]
[1 0 0 1]
[0 0 0 2]

jeancreatif · November 2019

Merci GaBuZoMeu. Ton logiciel peut il donner la valeur approchée 1,83928675521 sous la forme exacte

donnée par Marsup en haut de la page ( avec des racines cubiques) ?

Puis donner des valeurs exactes complexes ou pas, pour les racines des polynômes de degré >= 3 ?

Sous cette forme, c'est assez précis, mais je
préfère la valeur exacte: :-)

1.8392867552141611325518525646532866004241787460975922478788686404020220819 \
66425738435419428307014141979826859240974164178450746509436315458204995137 \
9624965553964461366121540277972678118941041211609223282155956018187121823659 \
86652273378537815696989252117395791413228721061878984085254956931145341313853 \
459576175035965221323814247272722417358187700069790551025490449657107425265477 \
22811006598937555363693330528262357538519719942991453008254663977472900587005 \
97448139193167282584883962633297070068723683112783775025055712221515252578946 \
560570686422283939656598294691356239220443192476147068811261766712743964146 \
2125718433426623403902183594591033227231061513286997030808030302223324997105 \
243107472354231399744381826565603535403578749117626525537079221110849710806 \
8764100501565414756622350088856659497158218341848714802901255436993480513679 \
165025853053878276666126224317766358200942985505387325991651787730184472388604 \
2622232485782079272104916018178372561320343981430227453399761212315504033867429 \
329211621461871005431394971720877066783628535843161868720076270556066286615872 \
583604894548715974517957319994623277097882394431315993156954991902982990489811 \
919162577227821911741801990454404999470440432292859815087349182932451478281212 \
011480030070735745986560988334384935663011291738932340632674811917649501573719 \
7401588047740477634827939901639564994706455151749499959904675834249090141939 \
486129791076083227246286714741414591895896961639473879820311021550411824865031 \
569338304874203198108804658533318308514303663024494607359312956920585419684618 \
24397581165038824739722367017295475978351918193473639491313472916687566443612 \
683155587831906926554378903136489971524686054164113260296410779699661802650907 \
7582918619643819737670493571635351414417861877682790630246446436644681984810 \
216684354867161274190793389271846906122690289889541937481380042108236458264769 \
135451306315598582881579145267928147361235964430962001482373710376258244980500 \
206455704970548795335106944401651706671178932997839

GaBuZoMeu · November 2019

Calculer de manière exacte avec des nombres algébriques ne veut pas dire forcément utiliser des radicaux. L'écriture avec des radicaux n'est d'ailleurs possible en général que pour des polynômes de degré inférieur ou égal à 4.
Sagemath travaille avec des nombres algébriques représentés par leur polynôme minimal et un intervalle d'isolation (ou un pavé d'isolation pour les complexes). C'est le moyen le plus couramment utilisé (mais il y a d'autres moyens pour décrire de manière exacte un nombre algébrique, même si on ne peut pas l'écrire avec des radicaux).
Par exemple le nombre que tu écris avec plein de chiffre (écriture qui ne le caractérise pas) peut être entièrement décrit de manière exacte comme "l'unique racine réelle de $x^3-x^2-x-1$". Et on peut calculer avec ça.

Ceci dit, quand on demande poliment à SageMath, il donne les valeurs propres avec des radicaux :

[x == -1/6*(3*sqrt(11)*sqrt(3) + 19)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1) - 2/3*(-I*sqrt(3) + 1)/(3*sqrt(11)*sqrt(3) + 19)^(1/3) + 1/3, x == -1/6*(3*sqrt(11)*sqrt(3) + 19)^(1/3)*(-I*sqrt(3) + 1) - 2/3*(I*sqrt(3) + 1)/(3*sqrt(11)*sqrt(3) + 19)^(1/3) + 1/3, x == 1/3*(3*sqrt(11)*sqrt(3) + 19)^(1/3) + 4/3/(3*sqrt(11)*sqrt(3) + 19)^(1/3) + 1/3, x == 2]

Mais tu les avais déjà ...

jeancreatif · November 2019

Merci

En effet, exact ne veut pas forcement dire " radicaux". D'ailleurs le nombre avec 2000 décimales, est presque presque la valeur exacte :-)

nicolas.patrois · November 2019

Ça m’étonnerait.

Matrice de passage

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