Convergence de l'inverse généralisée

mohammed · November 2019

Bonjour
Soit $(X_n)_{n>0}$ une suite de variables alèatoires $\underline{\text{dépendantes}}$ et identiquement distribuées.
Supposons que la fonction de répartition $F$ est continue et que $$\displaystyle{\sup_{x\in\mathbb{R}}|F_n(x)-F(x)|\xrightarrow[n\to +\infty]{ p.s} 0},
$$ avec $F_n$ la fonction de répartition empirique.

A-t-on le résultat suivant. $$\displaystyle{\sup_{p\in[0,1]}|F^{-1}_n(p)-F^{-1}(p)|\xrightarrow[n\to +\infty]{ p.s} 0}.$$

aléa · November 2019

Deux remarques:
1) la dépendance ou pas ne change rien: tu regardes une propriété des lois marginales, pas de la trajectoire;
2) Quelle définition pour $F_n^{-1}$ ? On sent bien que s'il y a un plateau, on risque d'avoir un problème.

Saturne · November 2019

@aléa L'inverse généralisée d'une fonction de répartition est la "fonction quantile". Voir wiki. C'est la fonction qu'on utilise pour simuler à partir d'une loi uniforme.