Problème simple de probabilités.

Bonsoir,

un énoncé simple de probabilités me malmène...

Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux d'obtenir un six?

J'ai essayé de trouver une formule qui donne en fonction du nombre $n$ de lancers, $P_n(A)$ la probabilité d'avoir au moins un six après ces $n$ lancers. (Avec A l’événement "obtenir un n-uplet comportant au moins un six")

Voilà ce que ça donne, je souhaite compter le nombre de n-uplets dans lesquels il y a au moins un 6. Il y a donc

1 fois le n-uplet comportant n six
$5\binom{n}{1}$ le n-uplet comportant n-1 six et un chiffre aléatoire entre 1 et 5 => $5$ car ce chiffre peut prendre 5 valeurs différentes, $\binom{n}{1}$ car c'est le nombre de 1-arrangements parmi n chiffres.

De manière générale, je dirais donc qu'il y a $5k\binom{n}{k}$ n-uplets comportant $k$ chiffres aléatoires entre 1 et 5 et $n-k$ six.
Je donne donc $P_n(A) = \frac{1+\sum_{k=1}^{n-1}5k\binom{n}{k}}{6^n}$ La formule fonctionne pour n=2 et pour n=3 uniquement si au lieu de $5k$ j'écris $5k^2$... bref me voilà un peu perdu.. des conseils?

Merci d'avance!