Couple de variables / loi binomiale
Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide pour ces exercices:
Exercice 1: 2 joueurs X et Y jouent à pierre feuille ciseaux.
1) à chaque manche quelle est la probabilité de faire match nul?
P(X=i inter Y=i)=p^2 * (1-p)^(2(i-1))
2) probabilité que X gagne la manche 1?
P(X=1+i inter Y=i)=p^2 * (1-p)^(2i-1)
Avec une mise de départ de 10euros, X joue contre Y jusqu'à ce que X remporte 3 manches, Y remporte alors le nombre de manches jouées en euros, soit Z le gain de Y.
3) Univers de Z et loi de Z?
Univers={3;4;5;6;7;8;9;10}
Z suit la loi binomiale de paramètre (7;1/2)
4) Espérance de Z?
E(Z)= Somme (k allant de 1à7) k*P(Z=k) = Somme (k allant de 1à7) k*(k parmi 7)*(1/2)^7
Exercice 2: Un bus contient 30 places réservées, mais lors du départ elles sont occupées que dans 4,2% des cas. Soient p la probabilité qu'une place ne soit pas occupée, X le nombre de places non occupées.
1) Montrez que X suit la loi binomiale de paramètres (30;p)
X suit la loi qui a chacune des n=30 places du bus (en considérant chaque place comme une expérience indépendante) la probabilité p qu'elle ne soit pas occupée.
2) valeur approchée de p?
p=0.96
3)moyenne de places non occupées lors du départ?
E(X)= 30*0.96 ou E(X)=Somme (k allant de 1à30) (k parmi 30)*0.96^k * 0.04^(30-k)
l'entreprise décide de faire de la sur-réservation et propose 33 places (au lieu des 30 existantes) à la réservation.
4) probabilité que des voyageurs n'est leur place disponible lors du départ?
P(X=0)=(3 parmi 33)*0.96^3* 0.04^30
J'aurais besoin de votre aide pour ces exercices:
Exercice 1: 2 joueurs X et Y jouent à pierre feuille ciseaux.
1) à chaque manche quelle est la probabilité de faire match nul?
P(X=i inter Y=i)=p^2 * (1-p)^(2(i-1))
2) probabilité que X gagne la manche 1?
P(X=1+i inter Y=i)=p^2 * (1-p)^(2i-1)
Avec une mise de départ de 10euros, X joue contre Y jusqu'à ce que X remporte 3 manches, Y remporte alors le nombre de manches jouées en euros, soit Z le gain de Y.
3) Univers de Z et loi de Z?
Univers={3;4;5;6;7;8;9;10}
Z suit la loi binomiale de paramètre (7;1/2)
4) Espérance de Z?
E(Z)= Somme (k allant de 1à7) k*P(Z=k) = Somme (k allant de 1à7) k*(k parmi 7)*(1/2)^7
Exercice 2: Un bus contient 30 places réservées, mais lors du départ elles sont occupées que dans 4,2% des cas. Soient p la probabilité qu'une place ne soit pas occupée, X le nombre de places non occupées.
1) Montrez que X suit la loi binomiale de paramètres (30;p)
X suit la loi qui a chacune des n=30 places du bus (en considérant chaque place comme une expérience indépendante) la probabilité p qu'elle ne soit pas occupée.
2) valeur approchée de p?
p=0.96
3)moyenne de places non occupées lors du départ?
E(X)= 30*0.96 ou E(X)=Somme (k allant de 1à30) (k parmi 30)*0.96^k * 0.04^(30-k)
l'entreprise décide de faire de la sur-réservation et propose 33 places (au lieu des 30 existantes) à la réservation.
4) probabilité que des voyageurs n'est leur place disponible lors du départ?
P(X=0)=(3 parmi 33)*0.96^3* 0.04^30
Réponses
-
Bonjour.
Je ne comprends rien !
Quelle est l'épreuve aléatoire (je connais le jeu, mais il n'est pas aléatoire, les joueurs décident) ? Qui est p ?
Si tu as un énoncé, on pourra peut-être comprendre.
Cordialement. -
Pour l'exercice 1: à chaque manche les joueurs choisissent leur mouvement indépendamment du mouvement choisi par l'autre joueur et des manches précédentes.
Pour l'exercice 2: la situation des 30 places réservées toutes occupées au départ que dans 4.2% des cas est modélisée par une probabilité p qu'une place réservée ne soit pas occupée lors du départ et X le nombre de places réservées non occupées au départ. Les places réservées sont non occupées indépendamment les unes des autres. -
Ah, je n'ai regardé que l'exercice 1.
" à chaque manche les joueurs choisissent leur mouvement indépendamment du mouvement choisi par l'autre joueur et des manches précédentes. " Oui, mais ça ne donne pas un événement aléatoire.
Ce serait différente si on avait "à chaque manche les joueurs choisissent leur mouvement aléatoirement (avec équiprobabilité) indépendamment du mouvement choisi par l'autre joueur et des manches précédentes. "
Et je ne sais toujours pas qui est ce p.
Pour l''exercice 2 :
question 1 : je ne comprends pas ta phrase, ni le rapport avec la loi binomiale. Il manque d'ailleurs au moins une hypothèse dans l'énoncé pour que X suive une loi binomiale (voir ton cours).
Question 2 : Pourquoi 0,96 ?
Si on suppose que 4,2% est la probabilité que toutes les places soient occupées, qu'aucune place réservée soit libre, que peut-on écrire ?
Cordialement.
NB : Un exercice de probas n'est pas un travail de divination. les résultats, comme toujours en maths, doivent être justifiés. -
Pour l'exercice 1: l'énoncé "à chaque manche les joueurs choisissent leur mouvement aléatoirement (avec équiprobabilité) indépendamment du mouvement choisi par l'autre joueur et des manches précédentes." correspond bien à ce qui est demandé. p=1/2 est la probabilité pour un joueur de gagner une manche.
Pour l'exercice 2:
1) X suit la loi qui a chacune des n=30 places du bus (en considérant chaque place comme une expérience indépendante et aléatoire) associe la probabilité p qu'elle ne soit pas occupée. X suit donc une loi binomiale.
2)p=1-(1-0.042)=0.042 -
Ex 1 :
Si p=1/2 est la proba pour chacun de gagner la manche ça fait une proba de 1/2+1/2 = 1 que l'un d'entre eux gagne, il ne reste rien pour le match nul. Tu y crois ?
Il va falloir commencer par modéliser correctement la situation (la manche); ce qui est très élémentaire, pas besoin d'écrire des formules compliquées piquées je ne sais où.
Pour simplifier, une fois que X a choisi, quelles sont les probabilités
* Que Y choisisse la même chose ?
* Que Y choisisse la possibilité qui gagnera ?
* Que Y choisisse la possibilité qui perdra ?
Ex 2 :
1) Je ne comprends pas pourquoi X prendrait des valeurs qui sont des probabilités. C'est d'ailleurs faux, X prend des valeurs entières entre 0 et 30. Revoir ce qu'est la loi binomiale (sa définition).
2) Encore un calcul sans explication. Inutile de continuer ainsi, ce n'est pas sérieux ! -
Ex1:
1) P(match nul)=1/3 (car P(total)=P(Y choisi la même chose, match nul) + P(Y gagne) + P(Y perd)= 1/3+1/3+1/3=1)
2) P(X gagne manche 1)=1/2 (car P(total)=P(X gagne manche 1) +P(Y gagne manche 1)=1/2+1/2=1)
Ex 2:
1) X prend des valeurs entières entre 0 et 30 et p est le probabilité que X se réalise c'est-à-dire que la place Xi avec i={1,2,...,30} soit non occupée. Chaque expérience correspondant à un Xi est aléatoire et ces expériences sont indépendantes les unes des autres.
2) p=P(X=1 place non occupée)=2*0.042
avec P(X=0 place non occupée)=0.042 -
Ex 1 :
1) Pas d'explication sérieuse, l'explication entre parenthèse utilise ce qui est à expliquer.
2) Faux, de façon évidente, et contradictoire avec le 1.
Ex 2 :
1) Enfin une vraie explication appuyée sur la définition, avec quand même une grosse erreur : " p est le probabilité que X se réalise". L'énoncé définit p et X, si on le lit, on n'écrit pas cette absurdité.
2) C'est du n'importe quoi.
Conclusion : Quand tu te décides à apprendre le cours, tu peux y arriver. Moi j'arrête là. -
On va changer un peu l'exercice 1, ça va peut-être t'aider à ouvrir les yeux.
Le jeu n'ai plus Pierre/Feuille/Ciseaux, mais un classique jeu de dés.
Albert et Bernard lancent chacun un dé. Si les 2 joueurs obtiennent le même nombre, il y a match nul. Sinon, celui qui a le plus gros score gagne.
Question 1 : Quelle est la probabilité qu'il y ait match-nul ?
Ensuite, quand tu auras répondu à la question 1, il y aura la question 2 : En déduire quelle est la probabilité que Albert gagne ?
Il faut faire les questions dans l'ordre. Il ne faut pas essayer de faire la 2 avant la 1.
Dans le jeu de Pierre/Feuille/Ciseau, il y a une coïncidence qui te perturbe peut-être.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour,
Ex dés:
P(match nul)=1/3 ; P(Albert gagne)=1/3
Ex1:
1) P(match nul)=1/3
2) P(X gagne manche 1)=1/3
3) Univers de Z={3;4;5;6;7;8;9;10}
Z suit la loi binomiale de paramètre (7;1/2)
4) E(Z)= Somme (k allant de 1à7) k*P(Z=k) = Somme (k allant de 1à7) k*(k parmi 7)*(1/2)^7
Ex2:
1) X prend des valeurs entières entre 0 et 30 et p la probabilité de X, c'est-à-dire que la place Xi avec i={1,2,...,30} soit non occupée. Chaque expérience correspondant à un Xi est aléatoire et ces expériences sont indépendantes les unes des autres.
2)p=0.042
3)E(X)=0.042*30
4) P(X=30 places occupées)=(3 parmi 33)*0.96^3* 0.042^30 -
Voici la correction
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Bonjour!
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