Des boules dans des urnes

On a $p+q=1$, donc
$$
\begin{align}
q \cdot \big[\frac{1}{(1-p)^2}-1\big]
+
p \cdot \big[\frac{1}{(1-q)^2}-1\big]
& =
\big[
\frac{1}{q} - q
\big]
+
\big[
\frac{1}{p} - p
\big] \\
& =
\frac{1}{q}+\frac{1}{p} - 1
\end{align}
$$

L'erreur est même avant, dans le texte.
Tu parles de séries géométriques.
$\sum_k q.p^k$ est effectivement une série géométrique de raison $p$.
Mais $\sum_k k.q.p^k$ n'est pas une série géométrique.

On peut réécrire cette somme différemment, et on va obtenir une somme d'une infinité de séries qui sont toutes des séries géométriques... et j'ai l'impression que ça va se simplifier, mais pas sûr.

Il faudrait aussi que tu apprennes un jour qu'une somme de termes en progression géométrique, ça peut se calculer facilement, même si le premier terme ne porte pas l'indice 1. Je crois que plein de gens t'ont déjà dit ça plusieurs fois... mais que tu continues à compliquer les choses, en ajoutant des termes inutiles.

Explications (je viens de trouver la question 2.c, bien cachée sur la droite !!)

$Y=$ nombre total de boules blanches piochées à la première alternance.

Pour avoir $[Y=1]$, il y a deux possibilités :
commencer par noire (proba $q$)
commencer par blanche/noire (proba $pq$)

Ainsi $P(Y=1)=q + pq$. (incompatibles)

Autre écriture $P(Y=1) = q (1+p) = (1-p)\cdot(1+p) = 1-p^2$.

Pour les autres valeurs $[Y=k]$, avec $k\ge 2$, la seule solution est d'avoir commencé par une succession de $k$ blanches, puis une noire.

Ça donne $P(Y=k) = p^k\cdot q$.

À vue de nez la somme géométrique $\sum_{k\ge 2} P(Y=k)$ donne bien : $p^2 \cdot q \cdot \frac{1}{1-p} = p^2 = 1 - P(Y=1)$.

(PS : toujours pas lu ce que tu as écrit, mais je compatis pour ton prof de maths !)

Ah oui celle là est redoutable, je me rappelle avoir séché aussi, à l'époque !

Le truc c'est que
soit $Y = 1$
soit $Z = 1$.

Dans les deux cas $(Y-1)\cdot(Z-1) = 0$.

En développant, ça donne $YZ + 1 = Y + Z$ presque sûrement !

(redoutable, comme j'ai dit !!)

Et donc, comme $Y+Z=X$, ma foi...