Théorie de la mesure - exercice
Hello !
J'ai un petit exo de théorie de la mesure et j'aurais besoin de quelques pistes de réflexion
1. Je ne sais pas comment on montre qu'un ensemble appartient à une tribu, est-ce que vous pouvez m'aidez ? Pour l'inclusion c'est facile merci.
2. a) Je ne vois pas comment faire
b) Pareil
3) a) Je pose B = { les x appartenant à Omega | f(x) > C }
Je montre que si 'a' appartient à l'union des An, alors 'a' appartient à B (facile)
Je prends 'a' appartient à B.
Je dis donc que f(a) > C
Donc il existe un e tel que f(a) >= C + e
Or 1/n tends vers 0 si n -> + inf. Donc il existe un 1/n < e, donc il existe un 1/n tel que f(a) >= C + 1/n, donc 'a' appartient à l'union des An
Est-ce que cette preuve est correcte ?
b) Je ne vois pas comment faire...
Merci la team !
Edit : Oups j'avais fait une erreur haha, c'est édité AD !
J'ai un petit exo de théorie de la mesure et j'aurais besoin de quelques pistes de réflexion
1. Je ne sais pas comment on montre qu'un ensemble appartient à une tribu, est-ce que vous pouvez m'aidez ? Pour l'inclusion c'est facile merci.
2. a) Je ne vois pas comment faire
b) Pareil
3) a) Je pose B = { les x appartenant à Omega | f(x) > C }
Je montre que si 'a' appartient à l'union des An, alors 'a' appartient à B (facile)
Je prends 'a' appartient à B.
Je dis donc que f(a) > C
Donc il existe un e tel que f(a) >= C + e
Or 1/n tends vers 0 si n -> + inf. Donc il existe un 1/n < e, donc il existe un 1/n tel que f(a) >= C + 1/n, donc 'a' appartient à l'union des An
Est-ce que cette preuve est correcte ?
b) Je ne vois pas comment faire...
Merci la team !
Edit : Oups j'avais fait une erreur haha, c'est édité AD !
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Réponses
2a) Pour $x$ dans $A_n$, on a $f(x)\ge C+\dfrac1n$ (eh !). Il n'y a qu'à intégrer sur $A_n$.
2b) Finesse : on écrit l'inégalité de 2a sous la forme $\displaystyle C\mu(A_n)+\dfrac1n\mu(A_n)\le\int_{A_n}f\mathrm{d}\mu$.
Puis on applique l'hypothèse $(*)$ avec $A=A_n$ : cela donne $\displaystyle\int_{A_n}f\mathrm{d}\mu\le C\mu(A_n)$. Il n'y a plus qu'à conclure.
3a) OK.
3b) Soit $B'=\{x\in \Omega,\ f(x)\le C\}$. Que veux-tu démontrer à propos de $B'$ ? Que viens-tu de démontrer ? (Réponse : qu'un truc est une réunion dénombrable de machins de mesure nulle.) Comment transformer ceci en cela ?
PS : Où a-t-on utilisé le fait que la mesure est finie ? Pourrais-tu donner un contre-exemple avec un $\Omega$ de mesure infinie ?
::o AD