Inégalité de Jensen conditionnelle

Je pense que la démonstration "traditionnelle" avec les droites de l'hypographe fonctionne.

Pour une fonction convexe $\phi$, on note $D_\phi$ l'ensemble des fonctions affines $\alpha : x \mapsto a x+b$ telles que $\forall x, \alpha(x) \le \phi(x)$.

On identifie $D_\phi$ à une partie de $\R^2$ par les coefficients.

On a alors $\forall x, \phi(x) = \sup_{\alpha\in D_\phi} \alpha(x)$.

Pour $\alpha$ une variable aléatoire $B$ mesurable à valeurs dans $D_\phi$, on a :
$$
\alpha\big(
E[X|B]
\big) =
E[\alpha(X)|B]
\le
E[\phi(X)|B]
$$

On passe au $\sup$ sur ces variables aléatoires $B$ mesurables, et on trouve
$$
\phi\big(
E[X|B]
\big)
\le
E[\phi(X)|B]
$$

je mets la question suivante de mesurabilité sous le tapis, parce que c'est un peu technique pour moi :
existe-t-il bien, pour $Z$ variable $B$ mesurable, une variable $\alpha_Z$ à valeurs dans $D_\phi$ qui est $B$ mesurable telle que $\alpha_Z(Z) = \phi(Z)$ ?
Enfin, disons que si $\phi$ est dérivable, alors $\alpha_Z(x) = \phi'(Z) \cdot (x-Z) + \phi(Z)$ convient, et qu'alors $\alpha_Z$ est bien $B$ mesurable.