Intégrale stochastique

Bonsoir,
adapté par rapport à quelle filtration ?

Une manière (un peu lourde) de montrer que $X_t$ est fini ps, est de passer par la martingale locale
$$X_t(T) = \displaystyle\int_{0}^{T} {f( tu)} dB_u,\quad T\geq 0$$
C'est une martingale $L^2$ car $X_t(0)$ est nul et $E(\sup \langle X_t(\cdot)\rangle_T) < \infty$, par hypothèse. Elle converge ps (et dans $L^2$) vers $X_t$.

Par Fatou, $E(X_t^2) \leq \liminf\limits_T E(\langle X_t\rangle_T) \leq E(\langle X_t\rangle_\infty) < \infty$ donc $X_t<\infty$ $P$-ps