Espaces Lp exercice

Marc A · December 2019

Bonjour !

J'essaye de résoudre cet exercice et j'aurais besoin de votre aide

Je précise que je ne maîtrise absolument pas les espaces L^p et que je suis en cours d'apprentissage du chapitre. Tous vos commentaires, remarques, indications sur des parties du cours me seront d'une aide précieuse.

1- a) Soit f une fonction de L¹, et t -> e^-tx est bien définie sur R+, d'où t -> L^f(t) est bien définie sur R+. Est-ce correcte ?
De plus, e^-0*x = e⁰ = 1 ce qui prouve l'égalité.

b) Je ne vois pas comment faire ? Est-ce que dire que f est une fonction de L¹ permet de dire que f est continue ? et comme t -> e^-tx est continue sur R+, alors L^f est continue sur R+ ?

c) Faut-il utiliser un théorème précis ?

2-
a) Je ne sais pas comment démontrer le fait qu'elle soit dérivable. Concernant la dérivée, la dérivée de t->e^-tx f(x) est t -> -x*e^-tx*f(t) donc on a bien l'égalité.

b) Ça doit être simple mais je ne vois pas comment faire...

c) Je pense que je ne saurais pas faire ça.

3- a-b-c-d-e) Impossible pour moi avec les notions que j'ai...

Merci d'avance et excellente journée. 93344

Poirot · December 2019

1)a) Pas correct. Tu n'as pas justifié que, pour chaque $t \geq 0$, l'intégrale $\int_{\mathbb R^+} e^{-tx} f(x) \,dx$ existe, autrement dit que la fonction $x \mapsto e^{-tx} f(x)$ est intégrable sur $\mathbb R^+$.

1)b) Une fonction intégrable n'a aucune raison d'être continue. Ici on te demande de montrer que la fonction $t \mapsto \int_{\mathbb R^+} e^{-tx} f(x) \,dx$ est continue, tu dois avoir un théorème dans ton cours permettant de voir cela. Et ça n'a vraiment rien à voir avec la continuité de $f$.

1)c) Oui, le théorème de convergence dominée ou le théorème de convergence monotone font tous les deux l'affaire.

2)a) Comme dans 1)b), tu dois avoir un théorème dans ton cours pour ça.

2)b) Intègre la relation de la question précédente...

2)c) Bah tout est dit dans l'indication ! Applique 2)b) à la fonction $g : x \mapsto x \frac{f(x)}{x}$.

Marc A · December 2019

Ok je comprends mieux du coup :

1- a) Soit f une fonction de L¹, f est intégrable sur R+. Et pour tout t>0, x -> e^-tx est bien intégrable sur R+.
Donc t -> L^f(t) est correctement définie.
b) Je ne vois pas quel théorème pourrait m'indiquer cela...
c) Prenons le théorème de convergence dominée :
x -> e^-tx* f(x) est bien intégrable (prouvé en 1)
et lim_n->+inf e^-tx * f(x) = 0 car ? Pourquoi cela est vrai ?
De plus, on a e^-tx < 1 pour tout t>0 et pour tout x de R+. On a donc |e^-tx* f(x)| < f(x)
Et f est une fonction intégrable car une fonction de L¹.
D'après le théorème de convergence dominée, on a donc lim_t->+inf $\int_{\mathbb
R^+} e^{-tx} f(x) \,dx$ = $\int_{\mathbb
R^+} 0 \,dx$ = 0
Ce qui prouve l'égalité. Est-ce correcte ?

2) a) Pareil je ne vois pas quel théorème

b) $\int_{\mathbb R^+} L^g(t) \,dt$ = - $\int_{\mathbb R^+} (L^f)'(t) \,dt$ = $\int_{\mathbb R^+} x * e^{-tx}*f(t) \,dt$
Il y a un problème du coup parce que je me retrouve avec un $x * e^{-tx}$
c) Soit g:x -> x * f(x)/x
On a (L^f)' (t) = - 1/x L^g(t)
En appliquant b), on aura donc l'égalité. Mais pourquoi faut-il prouver l'inégalité du début de la question ??

Merci beaucoup !

Poirot · December 2019

Bon, je vais être franc, c'est du grand n'importe quoi. Tu devrais chercher à être bien plus soigneux.

1)a) Non, tu ne peux pas affirmer ça. On dirait que tu penses que le produit de deux fonctions intégrables est intégrable, mais ça n'a aucune raison d'être vrai ! Ne vois-tu pas une manière de majorer la fonction $x \mapsto e^{-tx}f(x)$ par une fonction intégrable ?

1)b) Continuité d'une intégrale à paramètre.

1)c) Pourquoi regardes-tu une limite sur $n$ alors qu'il n'y a pas de $n$ ? Tu n'es pas soigneux, il faut chercher la limite, lorsque $t$ tend vers l'infini, de $e^{-tx}f(x)$ pour chaque valeur de $x$. Autrement dit tu fixes $x$ et tu cherches la limite en $t$, ça ne devrait pas être insurmontable. Ensuite tu n'as même pas montrer de domination, as-tu seulement lu l'énoncé du théorème de convergence dominée ?

2)a) Dérivation d'une intégrale à paramètre.

2)b) Réfléchis à ce que tu écris ! Il n'y a pas de $x$ dans l'expression de départ, et soudainement il y en a, tu as oublié une intégrale. De toute manière il ne faut pas procéder comme ça. Ne connais-tu pas un moyen de calculer l'intégrale d'une dérivée ?

2)c) Qui t'a dit qu'il fallait prouver l'inégalité du début ? C'est une hypothèse... Il faudrait plutôt que tu vois où est-ce que l'on se sert de cette hypothèse.

Marc A · December 2019

Pardon pour le grand n'importe quoi ! Je ne maitrise pas encore le cours donc il va m'arriver de dire des bêtises comme le fait que le produit de deux fonctions intégrables est intégrable ce qui est faux j'ai compris

1- a) Ok ! On a $h:x \mapsto e^{-tx}$, h(x) < =1 pour tout x et pour t de R+.Donc on peut en déduire que $x \mapsto e^{-tx} * f(x)$ est majorée par $x \mapsto f(x)$ qui est une fonction intégrable car f est une fonction de L¹. Donc $x \mapsto e^{-tx} * f(x)$ est intégrable.

Donc L^f(t) est correctement définie pour tout t de R+.

b) Pour appliquer ce théorème, il faut montrer que $x \mapsto e^{-tx} * f(x)$ est continue pour tout x et pour tout t non ? et ensuite trouver une fonction continue et intégrable avec une domination ?

c) J'ai fait une coquille, je voulais mettre t à la place de n. Pour la domination je prenais ce cas là : 'On a donc $| e^{-tx}*> f(x)| < f(x)$' pour tout x et pour tout t de R+.

2- a) OK merci !

b) J'ai compris du coup merci

c) Ok je comprends, je vais essayer de revoir ça.

Poirot · December 2019

1)a) C'est bon maintenant. De manière générale dans ce genre d'exercice il faut être capable de repérer rapidement la "taille" d'une fonction.

1)b) Bah non, tu n'as clairement pas lu l'énoncé du théorème de continuité d'une intégrale à paramètre (en tout cas pas celui d'un cours d'intégration de Lebesgue). Encore une fois, ça n'a rien à voir avec la continuité de $f$ ici. Le minimum que tu puisses exiger c'est que pour tout $x$, $t \mapsto e^{-tx}f(x)$ soit continue, si tu veux espérer que la fonction qui à $t$ associe l'intégrale de ça le soit. Il se trouve que c'est effectivement la seule continuité que tu as besoin de demander dans ce théorème. Ensuite, il faut supposer que pour tout $t$, $x \mapsto e^{-xt}f(x)$ soit mesurable, ça aussi c'est bien le minimum qu'on peut demander puisqu'on va vouloir intégrer cette fonction ! Enfin, il faut effectivement trouver une domination indépendante de $t$ par une fonction intégrable (en $x$).

1)c) Ok pour la domination.

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