Support d'une mesure
Bonjour
Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré de Borel i.e. $X$ espace topologique, $\mathcal A=\mathcal B(X)$ la tribu borélienne et $\mu$ est finie sur les compacts.
Visiblement on a l'égalité suivante (l'intersection se faisant sur les fermés $F$ de $X$ tels que $\mu(F^c)=0$) que je n'arrive pas montrer. $$
\bigcap F=\{x\in X\mid\forall U\in\mathcal V(x),\ \mu(U)>0\}$$
Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré de Borel i.e. $X$ espace topologique, $\mathcal A=\mathcal B(X)$ la tribu borélienne et $\mu$ est finie sur les compacts.
Visiblement on a l'égalité suivante (l'intersection se faisant sur les fermés $F$ de $X$ tels que $\mu(F^c)=0$) que je n'arrive pas montrer. $$
\bigcap F=\{x\in X\mid\forall U\in\mathcal V(x),\ \mu(U)>0\}$$
Réponses
-
Soit $\def\F{\mathcal F}$ l'ensemble des fermés de complémentaire négligeable.
Alors, pour tout ouvert $U$, on a $\mu(U)>0\Longleftrightarrow\overline U \not\in \F$.
Donc $x \in \bigcap\limits_{F\in \F} F
\Longleftrightarrow \forall U\ni x,
\overline U \not\in\F
\Longleftrightarrow \forall U\ni x,
\mu(U)>0
$.
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Bonjour!
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