Mouvement brownien

Bonsoir, j'aimerais votre avis sur la preuve suivante.
On se donne un mouvement Brownien standard $(B_t)_t$ et on pose pour $a>0$, \[
T=\inf\{t>0,\, |B_t|=a\}\] et on demande de montrer que $T $ est intégrable.
NB : sans calcul, donc pas de théorèmes d'arrêt.
Voici ma méthode.
Remarquons d'abord que $P (T>t)\leq P (-a <B_t <a)\leq\frac{2a}{\sqrt{2\pi t}} $.
Puis $T $ est une v.a positive on a \[
E(T)=\int_{0}^{+\infty}P(T>t)dt=\int_{0}^{1}P (T>t)dt+\int_{1}^{+\infty}P(T>t)dt.
\] Sur $[0,1] $ le problème est résolu.
Il reste sur $[1,+\infty[$. Soit $n\in\mathbb {N} $ tel que $n\geq 3$. En utilisant le fait que les accroissements d'un mouvement brownien sont deux à deux indépendants on a
\begin{align*}
P(T>t)&\leq P(B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a],\ldots, B_{\frac{kt}{n}}\in [-a,a],\ldots,B_{t}\in [-a,a])\\
&\leq P(B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a],B_{\frac{2t}{n}}-B_{\frac{t}{n}}\in [-2a,2a],\ldots, B_t-B_{\frac{(n-1)t}{n}}\in [-2a,2a])\\
&\leq\left(P(B_{\frac{t}{n}}\in [-2a,2a])\right)^{n-1}P (B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a])\\
&\leq \left (\frac{2a\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi}}\right)^n\frac {1}{t^{\frac{n}{2}}}
\end{align*} D'où le résultat.
Merci d'avance pour votre aide.