Mouvement brownien
Bonsoir, j'aimerais votre avis sur la preuve suivante.
On se donne un mouvement Brownien standard $(B_t)_t$ et on pose pour $a>0$, \[
T=\inf\{t>0,\, |B_t|=a\}\] et on demande de montrer que $T $ est intégrable.
NB : sans calcul, donc pas de théorèmes d'arrêt.
Voici ma méthode.
Remarquons d'abord que $P (T>t)\leq P (-a <B_t <a)\leq\frac{2a}{\sqrt{2\pi t}} $.
Puis $T $ est une v.a positive on a \[
E(T)=\int_{0}^{+\infty}P(T>t)dt=\int_{0}^{1}P (T>t)dt+\int_{1}^{+\infty}P(T>t)dt.
\] Sur $[0,1] $ le problème est résolu.
Il reste sur $[1,+\infty[$. Soit $n\in\mathbb {N} $ tel que $n\geq 3$. En utilisant le fait que les accroissements d'un mouvement brownien sont deux à deux indépendants on a
\begin{align*}
P(T>t)&\leq P(B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a],\ldots, B_{\frac{kt}{n}}\in [-a,a],\ldots,B_{t}\in [-a,a])\\
&\leq P(B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a],B_{\frac{2t}{n}}-B_{\frac{t}{n}}\in [-2a,2a],\ldots, B_t-B_{\frac{(n-1)t}{n}}\in [-2a,2a])\\
&\leq\left(P(B_{\frac{t}{n}}\in [-2a,2a])\right)^{n-1}P (B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a])\\
&\leq \left (\frac{2a\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi}}\right)^n\frac {1}{t^{\frac{n}{2}}}
\end{align*} D'où le résultat.
Merci d'avance pour votre aide.
On se donne un mouvement Brownien standard $(B_t)_t$ et on pose pour $a>0$, \[
T=\inf\{t>0,\, |B_t|=a\}\] et on demande de montrer que $T $ est intégrable.
NB : sans calcul, donc pas de théorèmes d'arrêt.
Voici ma méthode.
Remarquons d'abord que $P (T>t)\leq P (-a <B_t <a)\leq\frac{2a}{\sqrt{2\pi t}} $.
Puis $T $ est une v.a positive on a \[
E(T)=\int_{0}^{+\infty}P(T>t)dt=\int_{0}^{1}P (T>t)dt+\int_{1}^{+\infty}P(T>t)dt.
\] Sur $[0,1] $ le problème est résolu.
Il reste sur $[1,+\infty[$. Soit $n\in\mathbb {N} $ tel que $n\geq 3$. En utilisant le fait que les accroissements d'un mouvement brownien sont deux à deux indépendants on a
\begin{align*}
P(T>t)&\leq P(B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a],\ldots, B_{\frac{kt}{n}}\in [-a,a],\ldots,B_{t}\in [-a,a])\\
&\leq P(B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a],B_{\frac{2t}{n}}-B_{\frac{t}{n}}\in [-2a,2a],\ldots, B_t-B_{\frac{(n-1)t}{n}}\in [-2a,2a])\\
&\leq\left(P(B_{\frac{t}{n}}\in [-2a,2a])\right)^{n-1}P (B_{\frac{t}{n}}\in [-a,a])\\
&\leq \left (\frac{2a\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi}}\right)^n\frac {1}{t^{\frac{n}{2}}}
\end{align*} D'où le résultat.
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
-
Je n'ai pas trop compris ça :D'où le résultat.Merci d'avance pour votre aide.
Je pense que pour ne pas se casser la tête, il suffit de regarder la fonction de répartition aux temps entiers.
$P[T>n] \le P(|N_1| \le 2a, |N_2| \le 2a, \dots |N_n| \le 2a)$,
avec $N_k = B_{k} - B_{k-1}$.
Donc $P[T>n]$ est majorée par une suite géométrique.
Comme $P[T>t] \le P[T > n]$, pour $n = \lfloor t \rfloor$, $P[T>t]$ est intégrable, donc $T$ a une espérance.
PS : ah si finalement, j'ai compris : tu n'étais pas content d'avoir du $\frac{1}{\sqrt{t}}$ parce que ce n'est pas intégrable, du coup, tu regardes $n$ fixé à au moins 3 sauts pour te retrouver avec du $\frac{1}{\sqrt{t}^n}$ qui lui est intégrable.
Oui bien vu. -
C'est intéressant. Peut-on montrer de la même manière que
$T_2 = \inf \big\{ t , W_t^2 = a \big\} $ ou $ T_3 = \inf \big\{ t , |W_t|^3 = a \big\} $ sont intégrables ? -
J’espère ne pas dire une bêtise, Reinhard, mais n'est-ce pas la même chose de
demander $T_2 = \inf \big\{ t ,\ W_t^2 = a \big\}$
que : $T_2' = \inf \big\{ t ,\ |W_t| = a' \big\}$ pour $a' = \sqrt{a}$ ? -
Je suis d'accord avec marsup.
De même pour $T_3$.
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