Égalité en lois de processus log-normaux

Bonjour, je reformule ma question :

J'ai un processus gaussien 2D $ ( ( X_t , Y_t ) , t ) $. Je considere un second processus gaussien 2D $ ( (V_t , W_t ) , t ) $. Quelles sont les conditions pour que la loi en processus de $ ( (V_t , W_t ) , t ) $ soit égale a la loi en processus de $ ( ( X_t , Y_t ) , t ) $ ? En écrivant sous-forme n-dimensionnelle le probleme on obtient :


$$ Loi \Big\{ \begin{pmatrix}
X_{t_1},
Y_{t_1}
\end{pmatrix} ,

\begin{pmatrix}
X_{t_2},
Y_{t_2}
\end{pmatrix} ,
\cdots ,
\begin{pmatrix}
X_{t_n},
Y_{t_n}
\end{pmatrix}
\big\}

=?
Loi \Big\{ \begin{pmatrix}
V_{t_1},
W_{t_1}
\end{pmatrix} ,

\begin{pmatrix}
V_{t_2},
W_{t_2}
\end{pmatrix} ,
\cdots ,
\begin{pmatrix}
V_{t_n},
W_{t_n}
\end{pmatrix}
\big\}
$$
Comme ce sont des processus gaussiens ils sont caracterises par leurs fonctions de variances-covarience. Nos vecteurs aleatoires auront la meme loi si :

$ \forall i , \forall j \leq i : $
$ \mathbf{E} [ X_i ] = \mathbf{E} [ V_i ] $
$ \mathbf{E} [ Y_i ] = \mathbf{E} [ W_i ] $
$ \mathbf{E} [ X_i^2 ] = \mathbf{E} [ V_i ^2 ] $
$ \mathbf{E} [ Y_i^2 ] = \mathbf{E} [ W_i ^2] $
$ \mathbf{E} [ X_i X_j ] = \mathbf{E} [ V_i V_j ] $
$ \mathbf{E} [ W_i W_j ] = \mathbf{E} [ W_i W_j ] $
La ca nous suffit pour montrer que $ Loi ( X_t , t ) = Loi ( V_t , t ) $ et aue $ Loi ( Y_t , t ) = Loi ( W_t , t ) $, mais on veut bien l’egalite en lois jointes de processus, donc j’ai l’impression qu’il faut rajouter la condition :
$ \mathbf{E} [ X_i Y_j ] = \mathbf{E} [ V_i W_j ] $

Ce qui semble se reecrire en :
$ \forall t > 0 \forall s \leq t : $
$ \mathbf{E} [ X_t] = \mathbf{E} [ V_t ] $
$ \mathbf{E} [ Y_t] = \mathbf{E} [ W_t ] $
$ \mathbf{E} [ X_t^2 ] = \mathbf{E} [ V_t ^2 ] $
$ \mathbf{E} [ Y_t^2 ] = \mathbf{E} [ W_t ^2] $
$ \mathbf{E} [ X_t X_s ] = \mathbf{E} [ V_t V_s ] $
$ \mathbf{E} [ W_t W_s ] = \mathbf{E} [ W_t W_s ] $

$ \mathbf{E} [ X_t Y_s ] = \mathbf{E} [ V_t W_s ] $


Est-ce que ma formulation est correcte ?
Peut-etre que vous me repondrez “c’est du cours” mais justement : dans mon cours on parle seulement d’egalite en loi de processus 1D et pas 2D donc je ne sais pas du tout comment traiter de facon straightforward le cas de processus gaussien 2D.