Réduction de variance

Bonjour,

Soit $X$ un vecteur aléatoire de $\mathbb{R}^d$ et $\xi$ un vecteur aléatoire de $\mathbb{R}^q$ centré admettant tous deux des moments d'ordre deux.

On suppose les matrices de covariance $D(X)$ et $D(\xi)$ définies positives et on cherche à trouver les matrices de $M_{d, q}(\mathbb{R})$ minimisant $\Phi(L) := \mathrm{Var}[X - L \xi]$ où on a posé, pour tout vecteur aléatoire $Y$, $\mathrm{Var}[Y] := \mathbb{E}[ ||Y - \mathbb{E}[Y]||_2^2]$ (norme euclidienne).

Avec quelques calculs, j'arrive à $\Phi(L) = \text{tr}(D(X)) - 2\text{tr}(L^{t}C) + \text{tr}(LD(\xi)^{t}L)$ de différentielle au point $L$ prise en $H$ égale à $-2\text{tr}(C^{t}H) + 2\text{tr}(LD(\xi)^{t}H)$ et donc de seul point critique $CD(\xi)^-1$ (où $^{t}M$ désigne la transposée).

Comment montrer à present qu'il s'agit bien d'un minimum?