Exercice théorie de la mesure

Ociruef · December 2019

Bonjour à tous
Je suis nouveau sur le forum et je suis ravi de faire votre connaissance ! Je suis actuellement en L3 de mathématique et je travaille pour réussir mes examens de la semaine prochaine prochaine B-)
J'aurais besoin de votre aide concernant cet exercice.

Pour la 1. : C'est du classique.
Pour la 2. : J'aurais besoin de vos indications, pareil pour la 3.

Je me doute qu'il faudra utiliser le théorème de convergence (monotone ou dominée) pour la 2. Mais je ne vois pas trop comment procéder.

Merci d'avance ! 93506

purple · December 2019

Remarque que la première question te fais calculer la limite presque sûre d'une certaine fonction.
Relis les hypothèses du théorème de convergence dominée. Pense à écrire $(1+\frac{x}{n})^n$ sous forme exponentielle. Une majoration uniforme devrait apparaître assez vite.
Pour la deuxième question c'est presque immédiat à partir de la première question.

Math Coss · December 2019

Exégèse des propos pourpres...

Remarque que tu peux écrire $I_n$ et $J_n$ comme les intégrales sur $\R^+$ de fonctions qui sont, à un facteur près, celle de la première question.

Comment faire apparaître du $\ln(1+u)$ quand on a du $\bigl(1+\frac{x}n\bigr)^n$ ? En l'écrivant $\exp\Bigl(n\ln\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)\Bigr)$ pardi. La majoration du rappel devrait permettre de faire disparaître la dépendance en $n$ et donc de donner une majoration de notre fameuse fonction intégrée par une fonction intégrable et indépendante de $n$ – bref, d'appliquer le théorème de convergence dominée.

Que dit le lemme de Fatou, déjà ?

Ociruef · December 2019

Merci pour vos retours !!

Donc pour la 2), on a bien :

e^nln(1+x/n) * e^-2x = e^{nln(1+x/n)-2x} et e^{nln(1+x/n)-2x} < e^-x (après simplifications)

Or x->e^-x est intégrable et on applique le théorème de convergence dominée etc.. Super !

On obtient au final : In = $\displaystyle \int_0^{+inf }e^{-x} \, \mathrm{d}x$ = 1

Est-ce que c'est bon ?

Pour la 3) : Je vois mal le rapport entre limite inf du lemme de fatou et Jn

En fait, est-ce que le but est de montrer que l'intégrale de lim inf de $\Bigl(e^{ln\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)}\Bigr)e^{(-1/2)x}$ est égale à +inf ?

Donc que lim inf de $\Bigl(e^{ln\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)}\Bigr)e^{(-1/2)x}$ converge vers quelque chose qui permettra de prouver ça.... Ou je me trompe totalement de route ?

purple · December 2019

Pour la première question ça a l’air bon.
Pour la deuxième je crois que tu as mal tapé tes intégrandes.
Au fait, quand la limite existe, elle se confond avec la limite inférieure (et la limite supérieure).

Ociruef · December 2019

purple
Oh ça me simplifie la tâche ! Merci purple :-D

Oui pardon j'ai modifié les intégrales.

En fait c'est bon pour la 3), si je ne me trompe pas par passage à la limite on se retrouvera avec un e^(1/2)x qui donc va faire diverger l'intégrale et donc faire diverger lim J_n

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Exercice théorie de la mesure

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