Comparaison de lois uniformes

bluepix · December 2019

Bonsoir,

Voici le problème qui m'est posé :
Soit $U_1$ et $U_2$, deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant une loi uniforme sur $[0,1]$.

On cherche à déterminer la probabilité : $p = P(U_1 < U_2)$

Instinctivement on "sent" évidemment que $p = \frac{1}{2}$ mais j'ai beaucoup de mal à formaliser ça ...

Je pensais utiliser une sorte de formule des probabilités conditionnelles pour les variables aléatoires continues mais je n'en ai pas trouvée.

J'aimerais donc connaître vos différentes idées/démarches pour résoudre ce problème :-)

Merci par avance

purple · December 2019

Une manière de commencer : $P(U_1 < U_2) = \mathbb{E} [ \mathbb{1} _{U_1 < U_2} ]$.

verdurin · December 2019

Je te copie la réponse que m'avait donnée une élève de terminale STL : « il faudrait faire comme une intégrale sur la surface. »

Lucas · December 2019

Pour utiliser ton intuition : on a bien sûr
$$
1=\mathbb{P}(U_1<U_2)+\mathbb{P}(U_1=U_2)+\mathbb{P}(U_1>U_2).
$$
Il reste alors à montrer que le terme du milieu vaut zéro, et que les termes 1 et 3 sont égaux (sans les calculer).

Une difficulté est qu'on est obligé d'utiliser l'indépendance (sinon le résultat est faux).

bluepix · December 2019

Merci pour toutes vos réponses, je m’intéresse déjà à la première ce qui donne :

$P(U_1 < U_2) = E(1_{U_1 < U_2})$
Le problème est que je ne vois pas comment exprimer cette espérance autrement que part $P(U_1 < U_2)$ ce qui me fait tourner en rond ...

purple · December 2019

Par le théorème de transfert tu te ramènes à un calcul d’intégrale. Encore faut-il connaitre la loi du couple $(U_1 , U_2)$.
Fort heureusement les variables sont indépendantes.

bluepix · December 2019

Hum :-S
Je ne vois pas vraiment à quelle variable aléatoire et à quelle fonction $\phi$ je dois appliquer le théorème de transfert ...

marsup · December 2019

Que c'est compliqué !

La loi du couple $(U_1,U_2)$ n'est-elle pas tout simplement la mesure de Lebesgue sur le carré $[0,1]^2$ ?

À quoi ressemble le domaine correspondant à l'événement $[U_1<U_2]$ ?
Quelle est son aire ?

bluepix · December 2019

Oui effectivement en résonnant géométriquement c'est facile !
L'aire en question est le triangle rectangle supérieur du carré unité donc la proba vaut bien $\frac{1}{2}$.
Mais j'aimerai formaliser ça en utilisant justement des théorèmes de transfert et autres pour pouvoir l'appliquer à des cas plus compliqués (donc sans arguments géométriques).

Typiquement si je cherche $P(U_1<U_2<U_3)$ avec $U_i$ des variables suivant des lois uniformes.

J'ai pu trouver qu'on avait : $E(1_{U_1<U_2}) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1_{x<y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ mais je ne comprends pas d’ou vient cette égalité (même si elle me semble logique) ni à quel niveau intervient le fait que $U_1$ et $U_2$ suivent des lois uniformes ...

Encore merci pour vos réponses

purple · December 2019

Un calcul d'intégrale n'est pas moins un argument géométrique.
L'égalité que tu proposes c'est très exactement le théorème de transfert, l’intégrale double représente bien l'aire de ce fameux triangle rectangle. À mes yeux il s'agit d'une seule et même preuve.

Reinhard · December 2019

Une probabilité c'est une mesure n'est-ce pas ? $U_1$ a une densité associée $g_1$, $U_2$ a une densité associée $g_2$. Mais toi tu calcules $\mathbf{E} [ f(U_1 , U_2 ) ]$ donc tu as besoin de la densité jointe $g_{1,2}$ et dans ce cas :
$$\mathbf{E} [ f(U_1 , U_2 ) ] = \int_{\mathbf{R}^2} f(x,y) g_{1,2} (x,y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$
Mais comme nos variables sont indépendantes, $g_{1,2}(x,y) = g_1(x) g_2(y) $. Voila d'ou vient l'égalité :
$$
\mathbf{P} ( U_1 < U_2 ) = \mathbf{E} [ I ( U_1 < U_2 ) ] = \int_{[0,1]^2 \cap \{ (x,y) , x < y \} } \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$

Lucas · December 2019

> La loi du couple (U1,U2) n'est-elle pas tout simplement la mesure de Lebesgue sur le carré [0,1]2 ?

C'est un peu le problème que je soulevais : avec ce genre d'argument (joli) on ne voit pas très bien où apparaît l'hypothèse d'indépendance.