Comparaison de lois uniformes
Bonsoir,
Voici le problème qui m'est posé :
Soit $U_1$ et $U_2$, deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant une loi uniforme sur $[0,1]$.
On cherche à déterminer la probabilité : $p = P(U_1 < U_2)$
Instinctivement on "sent" évidemment que $p = \frac{1}{2}$ mais j'ai beaucoup de mal à formaliser ça ...
Je pensais utiliser une sorte de formule des probabilités conditionnelles pour les variables aléatoires continues mais je n'en ai pas trouvée.
J'aimerais donc connaître vos différentes idées/démarches pour résoudre ce problème :-)
Merci par avance
Voici le problème qui m'est posé :
Soit $U_1$ et $U_2$, deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant une loi uniforme sur $[0,1]$.
On cherche à déterminer la probabilité : $p = P(U_1 < U_2)$
Instinctivement on "sent" évidemment que $p = \frac{1}{2}$ mais j'ai beaucoup de mal à formaliser ça ...
Je pensais utiliser une sorte de formule des probabilités conditionnelles pour les variables aléatoires continues mais je n'en ai pas trouvée.
J'aimerais donc connaître vos différentes idées/démarches pour résoudre ce problème :-)
Merci par avance
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Réponses
$$
1=\mathbb{P}(U_1<U_2)+\mathbb{P}(U_1=U_2)+\mathbb{P}(U_1>U_2).
$$
Il reste alors à montrer que le terme du milieu vaut zéro, et que les termes 1 et 3 sont égaux (sans les calculer).
Une difficulté est qu'on est obligé d'utiliser l'indépendance (sinon le résultat est faux).
$P(U_1 < U_2) = E(1_{U_1 < U_2})$
Le problème est que je ne vois pas comment exprimer cette espérance autrement que part $P(U_1 < U_2)$ ce qui me fait tourner en rond ...
Fort heureusement les variables sont indépendantes.
Je ne vois pas vraiment à quelle variable aléatoire et à quelle fonction $\phi$ je dois appliquer le théorème de transfert ...
La loi du couple $(U_1,U_2)$ n'est-elle pas tout simplement la mesure de Lebesgue sur le carré $[0,1]^2$ ?
À quoi ressemble le domaine correspondant à l'événement $[U_1<U_2]$ ?
Quelle est son aire ?
L'aire en question est le triangle rectangle supérieur du carré unité donc la proba vaut bien $\frac{1}{2}$.
Mais j'aimerai formaliser ça en utilisant justement des théorèmes de transfert et autres pour pouvoir l'appliquer à des cas plus compliqués (donc sans arguments géométriques).
Typiquement si je cherche $P(U_1<U_2<U_3)$ avec $U_i$ des variables suivant des lois uniformes.
J'ai pu trouver qu'on avait : $E(1_{U_1<U_2}) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1_{x<y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ mais je ne comprends pas d’ou vient cette égalité (même si elle me semble logique) ni à quel niveau intervient le fait que $U_1$ et $U_2$ suivent des lois uniformes ...
Encore merci pour vos réponses
L'égalité que tu proposes c'est très exactement le théorème de transfert, l’intégrale double représente bien l'aire de ce fameux triangle rectangle. À mes yeux il s'agit d'une seule et même preuve.
$$\mathbf{E} [ f(U_1 , U_2 ) ] = \int_{\mathbf{R}^2} f(x,y) g_{1,2} (x,y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$
Mais comme nos variables sont indépendantes, $g_{1,2}(x,y) = g_1(x) g_2(y) $. Voila d'ou vient l'égalité :
$$
\mathbf{P} ( U_1 < U_2 ) = \mathbf{E} [ I ( U_1 < U_2 ) ] = \int_{[0,1]^2 \cap \{ (x,y) , x < y \} } \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$
C'est un peu le problème que je soulevais : avec ce genre d'argument (joli) on ne voit pas très bien où apparaît l'hypothèse d'indépendance.