Espérance
Bonjour,
$N$ est une variable discrète et les $X_{i}$ sont iid. Comment justifier cette égalité pour $f$ mesurable positive ? (je suis d'accord que c'est évident mais peut-être la justification correcte fait intervenir l'espérance conditionnelle)
Merci
$N$ est une variable discrète et les $X_{i}$ sont iid. Comment justifier cette égalité pour $f$ mesurable positive ? (je suis d'accord que c'est évident mais peut-être la justification correcte fait intervenir l'espérance conditionnelle)
Merci
Réponses
-
Oui,
c'est un simple conditionnement par les valeurs de N, si tu préfères, c'est la formule des probabilités totales.
Cordialement. -
Merci gerard0 mais je ne vois pas comment effectuer le conditionnement. Quand j'essaye le raisonnement utilise des espérances conditionnelles et on passe d'un réel à une variable aléatoire ...
C'est sûrement très simple. -
Il n'y même pas besoin de conditionnement.
Si $N(\Omega) = \N\setminus\{0\}$, on a $$
\forall \omega\in\Omega :
\sum_{i=1}^{N(\omega)}f(X_i(\omega)) =
\sum_{n=1}^{\infty}
1_{N(\omega)=n}
\sum_{i=1}^{n}
f(X_i(\omega)).
$$ Ce n'est même pas du "presque-sûr", c'est de l'algèbre ! -
Je comprends, merci marsup.
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