Inclusion

Bonsoir,
je viens de lire ça dans un exercice.
$\limsup\left\{ X_{n}>a \right\}\subset \left\{ \limsup_{n}X_{n} \geq a \right\}$. Si l'inégalité est large à gauche alors on a l'égalité.

En effet pour la seconde on a
\begin{align*}
\big\{ \limsup_{n}X_{n} \geq a \big\} &=\big\{ \omega \in \Omega \mid \lim_{n}\sup_{k>n}X_{n}( \omega ) \geq a \big\} \\
&=\big\{ \omega \in \Omega , \text{ tel que pour une infinité d'indices } n,\ X_{n}( \omega )\geq a \big\} \\
&=\limsup\left\{ X_{n}\geq a \right\}

\end{align*} Je note $\limsup_{n}$ la limite supérieure en l'infini en tant que limite d'une suite.
Êtes-vous d'accord ? Merci.

[$\LaTeX$ fournit les commandes \limsup et \liminf qui gèrent correctement les espacements. ;-) AD]