Inclusion
Bonsoir,
je viens de lire ça dans un exercice.
$\limsup\left\{ X_{n}>a \right\}\subset \left\{ \limsup_{n}X_{n} \geq a \right\}$. Si l'inégalité est large à gauche alors on a l'égalité.
En effet pour la seconde on a
\begin{align*}
\big\{ \limsup_{n}X_{n} \geq a \big\} &=\big\{ \omega \in \Omega \mid \lim_{n}\sup_{k>n}X_{n}( \omega ) \geq a \big\} \\
&=\big\{ \omega \in \Omega , \text{ tel que pour une infinité d'indices } n,\ X_{n}( \omega )\geq a \big\} \\
&=\limsup\left\{ X_{n}\geq a \right\}
\end{align*} Je note $\limsup_{n}$ la limite supérieure en l'infini en tant que limite d'une suite.
Êtes-vous d'accord ? Merci.
[$\LaTeX$ fournit les commandes \limsup et \liminf qui gèrent correctement les espacements. ;-) AD]
je viens de lire ça dans un exercice.
$\limsup\left\{ X_{n}>a \right\}\subset \left\{ \limsup_{n}X_{n} \geq a \right\}$. Si l'inégalité est large à gauche alors on a l'égalité.
En effet pour la seconde on a
\begin{align*}
\big\{ \limsup_{n}X_{n} \geq a \big\} &=\big\{ \omega \in \Omega \mid \lim_{n}\sup_{k>n}X_{n}( \omega ) \geq a \big\} \\
&=\big\{ \omega \in \Omega , \text{ tel que pour une infinité d'indices } n,\ X_{n}( \omega )\geq a \big\} \\
&=\limsup\left\{ X_{n}\geq a \right\}
\end{align*} Je note $\limsup_{n}$ la limite supérieure en l'infini en tant que limite d'une suite.
Êtes-vous d'accord ? Merci.
[$\LaTeX$ fournit les commandes \limsup et \liminf qui gèrent correctement les espacements. ;-) AD]
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Réponses
Ce serait vrai (l'inclusion) avec des inégalités larges.
Il faut se souvenir que l'inclusion des ensembles correspond à l'implication des conditions qui les décrivent.
L'ensemble de gauche est formé des $\omega$ tel que $X_n(\omega)$ dépasse $a$ une infinité de fois.
Or la limite supérieure d'une suite de nombres est la borne supérieure des valeurs dépassées une infinité de fois (que le sens soit large ou strict), donc si $a$ est dépassé une infinité de fois par $X_n(\omega)$, la limsup de $X_n(\omega)$ dépasse $a$ (au sens large).
Dois-je comprendre que pour le correcteur si ${u_{n}>0,\; alors \sum_{}^{}{u_{n}}diverge\; }$ ? Ce qui est faux. As-tu une explication ?