Limite simple de fonctions en escalier

Merci pour votre réponse. Je connais ce fait. Cependant, j'appelle "fonction en escalier" toute fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ constante par morceaux, i.e. s'écrivant sous la forme $\displaystyle \sum_{n\,=-\infty}^{+\infty} a_n \mathbf{1}_{[t_n,t_{n+1}]}$ où, pour tout $A\subset \mathbb{R}$ borné, $\{t_n \mid n\in\mathbb{Z}\} \cap A$ est fini. C'est moins général qu'une fonction étagée.