Conditionnement min-max

Le plus simple est de passer par la loi de la statistique d'ordre.

Bonjour,

Voici mon point de vue, c'est à dire celui de quelqu'un qui n'y connait rien, et qui a dû donc d'abord s'enquérir d'une définition de la variable aléatoire $\mathbb E(X|Y):\quad X$ et $Y$ étant deux variables aléatoires absolument continues de densité conjointe $f_{XY}$ et de densités marginales $f_X$ et $f_Y$,
$$\mathbb E(X|Y) = \varphi(Y) \:\text{où}\:\: \varphi : y \longmapsto \displaystyle \int _{\R} x \dfrac {f_{XY} (x,y)}{f_Y (y)} \mathrm d x$$,
Avec $ X_1,X_2,...X_n$ indépendantes et uniformément distribuées dans $[0;1]$, $\:\:X= \min(X_1,X_2,...X_n),\quad Y = \max (X_1,X_2,...X_n),\:\:$ on a:
$\forall x,y\in [0;1],\:\: G(y):= \Pr [Y<y] = y^n,\quad \quad F_Y(y) =G\,'(y) = ny^{n-1},\:$ et de la même façon: $ F_X(x) = n (1-x)^{n-1}$
$$H(x,y):= \Pr \left [ (X<x) \cap(Y <y) \right ] =\left\{ \begin{array} {cc} y^n - (y-x)^n& \text{si}\: x\leqslant y .\\ y^n & \text{sinon}. \end{array}\right.\:\:$$
puis: $\:\:F_{XY} (x,y) = \dfrac {\partial H}{\partial x \partial y} (x,y) = \left\{ \begin {array} {cc}n(n-1) (y-x)^{n-2} & \text {si}\: 0\leqslant x \leqslant y \leqslant 1.\\ 0& \text{sinon}. \end{array}\right.$
On parvient ainsi à:$\quad \mathbb E(X|Y)= \dfrac Yn,\quad \mathbb E(Y|X) = \dfrac{X+n-1} n,$ ce qui est conforme au résultat de P.