Distribution Weibull

Bonjour.

(je n'ai pas vérifié tes calculs)
Il serait bon d'unifier tes notations (*), en écrivant tout en puissances de y ($\sqrt[ b]{\frac y a} = y^{\frac 1 b}a^{-\frac 1 b}$) , rassemblant les constantes, et essayant de faire apparaître une puissance de y multipliée par une exponentielle.

Bon travail !

(*) du départ !

Tu n'as pas pu fini ?

$Y = u(X) = a \cdot X^b$
$X = v(Y) = c \cdot Y^d$
avec $X = v(u(X)) = c \cdot (aX^b)^d = ca^d \cdot X^{bd}$.
Ainsi $d = \frac{1}{b}$, $c = \frac{1}{a^{1/b}}$.

On a $F_Y(y) = F_{u(X)}(u(v(y))) = F_X(v(y))$.
donc $f_Y(y) = v'(y) \cdot f_X(v(y))$.

Or $f(x) =
\frac{k}{\theta} \cdot \big(
\frac{x}{\theta}
\big)^{k-1}
\cdot \exp
\big[
\big(
\frac{x}{\theta}
\big)^k
\big]
$, et on calcule :
$$
\begin{align}
f_Y(y) & = v'(y) \cdot f_X(v(y)) \\
& = cd y^{d-1} \cdot
\frac{k}{\theta} \cdot \big(
\frac{cy^d}{\theta}
\big)^{k-1}
\cdot \exp
\big[
\big(
\frac{cy^d}{\theta}
\big)^k
\big] \\
\end{align}
$$

Dans l'exponentielle, on a : $\big(
\frac{cy^d}{\theta}
\big)^k
=
\big(\frac{y}{(\theta/c)^{1/d}}\big)^{dk}
$
On note $\phi = \big(\frac{\theta}{c}\big)^{1/d}$, donc $\theta = c \phi^d$.
Ainsi :
$$
\begin{align}
f_Y(y) & = cd y^{d-1} \cdot
\frac{k}{\theta} \cdot \big(
\frac{cy^d}{\theta}
\big)^{k-1}
\cdot \exp
\big[
\big(
\frac{cy^d}{\theta}
\big)^k
\big] \\
& = cd y^{d-1} \cdot
\frac{k}{c\phi^d} \cdot \big(
\frac{cy^d}{c\phi^d}
\big)^{k-1}
\cdot \exp
\big[
\big(
\frac{y}{\phi}
\big)^{dk}
\big] \\
& = y^{d-1} \cdot
\frac{dk}{\phi^d} \cdot \big(
\frac{y}{\phi}
\big)^{d(k-1)}
\cdot \exp
\big[
\big(
\frac{y}{\phi}
\big)^{dk}
\big] \\
& = \frac{dk}{\phi} \cdot \big(
\frac{y}{\phi}
\big)^{dk-1}
\cdot \exp
\big[
\big(
\frac{y}{\phi}
\big)^{dk}
\big] \\
\end{align}
$$
et voilà.

Ça se fait de tête ou presque.
Une va $U$ exponentielle standard a pour densité $e^{-u}.$
Une va de Weibull $V=U^{1/k}$ de paramètres $(k,1)$ a pour densité $ke^{-v^k}v^{k-1}$
Une va de Weibull $X=\theta V$ de paramètres $(k,\theta)$ a pour densité $ke^{-(x/\theta)^k}(x/\theta)^{k-1}/\theta.$
Posons $c=1/b.$ La va $Z=X^{1/c}$ a pour densité $$
kc\times \frac{1}{\theta}e^{-(z^{c}/\theta)^k}(z^{c}/\theta)^{k-1}\times z^{c-1}=kc\times \frac{1}{\theta^k}e^{-\tfrac{z^{kc}}{\theta^k}}\times z^{kc-1}.

$$ La va $Y=aZ$ a pour densité $$
kc\times \frac{1}{a^{kc}\theta^k}e^{-\tfrac{z^{kc}}{a^{kc}\theta^k}}\times z^{kc-1}.
$$ C'est une Weibull de paramètre $(kc, a\theta^{1/c}).$

On peut s'amuser à remplacer $c$ par $1/b$ pour une densité encore plus poilue. La loi de Weibull n'a aucune autre propriété que la modélisation, pas de TF de Laplace sympathique, pas de propriétés de convolution additive (TF de Mellin explicite quand même, car Weibull hérite de propriétés multiplicatives de la loi exponentielle). Cet exercice est très laid.

Citons Raymond Queneau:
'-Zazie, pourquoi veux tu devenir institutrice ?
-Pour faire chier les mômes'
Cela doit être la devise de l'auteur de l'exercice