1< m_1.... m_n si 1=A_1...A_n

P. · December 2019

Landau le physicien dit que l'élégance est pour les tailleurs et non pour les scientifiques. La démonstration que je trouve du fait suivant n'est pas très élégante, auriez-vous mieux ?

Soit $A_1,\ldots, A_n$ des va positives telles que $A_1\cdots A_n=1$ et telles que $\mathbb{E}(A_i)=m_i$ existe. Alors $1\leq m_1\cdots m_n.$

Math Coss · December 2019

Est-ce que les $\ln A_i$ admettent une espérance ? Si oui, leur somme est nulle puisque $\sum \ln A_i=0$. Mais alors, par concavité du logarithme, $\ln E(A_i)\ge E(\ln A_i)$ pour tout $i$ et on n'a plus qu'à sommer : $\sum\ln E(A_i)\ge0$ donc $\prod E(A_i)\ge1$. Me planté-je ?

P. · December 2019

Mais non, tu ne te trompes point, c'est astucieux et je n'oserai pas montrer ma pedestrian proof. Question existence de $E(\log A_i)$, comme $\log A_i<A_i-1$ alors $E(\log A_i)\geq -\infty$ est bien defini. Merci beaucoup.

1< m_1.... m_n si 1=A_1...A_n

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