Intégrale stochastique

Fulgrim
Fulgrim
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous !

J'aimerais majorer une intégrale stochastique, mais vu que l'inégalité triangulaire n'est pas autorisée, j'avoue que je suis un peu démuni...
J'ai $B$ un brownien, $\sigma$ une fonction réelle bornée et $\theta$-höldérienne ($\theta > 1/2$).
Je veux montrer que, pour un certain $C$ $$
\mathbb{E}\Big(\Big|\int_0^t\sigma(s)dB_s\Big|\Big)\leqslant C\sqrt t.
$$ Y a-t-il des techniques pour dire quelque chose même sans connaître $\sigma$ ?
Merci !

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Que peux-tu dire de la variance de cette intégrale stochastique ?
  • Fulgrim
    Fulgrim
    $B$ est une martingale $L^2$, donc l'intégrale est encore une martingale $L^2$, et la variance est donc finie.
    L'espérance du carré est donc égale à l'espérance du crochet qui vaut $$
    \mathbb{E}\Big(\int_0^t\sigma^2 ds\Big)=c^2t.
    $$ Et ensuite on applique Hölder.
    C'est à ça que tu pensais ?

    Sinon depuis j'ai trouvé en appliquant l'inégalité de Burkholder-Davis-Gundy, mais c'est utiliser un bazooka...
  • Siméon
    Siméon
    Tout à fait : Hölder, Cauchy-Schwarz, Jensen ou même BDG si tu y tiens. L'essentiel est la convexité !
  • Fulgrim
    Fulgrim
    Merci beaucoup :)

    Juste pour savoir aussi, j'ai tenté de faire un genre de changement de temps pour le brownien, en disant que l'espérance est la même que celle avec le brownien donné par $\sqrt t B_{s/t}$.
    On a pu utiliser ce genre de technique par moment, factoriser le $\sqrt t$, et arriver à une espérance d'une fonction de $B_1$, qu'on peut montrer être finie.
    Est-ce que ça avait une chance d'aboutir ?
    Je ne sais pas si je suis très clair, au pire tant pis et merci :) !
  • Siméon
    Siméon
    Le changement de temps te donne $\int_0^t \sigma(s)\,dB_s = \sqrt{t} \int_0^1 \sigma(ts)\,d\widetilde B_s$, mais tu dois toujours justifier que cette variable aléatoire est dans $L^1$, ce qui va revenir plus ou moins au même. De toute façon, tu ne pourras pas échapper à des arguments type $L^2$ à un moment ou un autre, puisque c'est justement en ce sens qu'on définit l'intégrale stochastique.

    Je précise tout de même que mes réponses sont à prendre avec des pincettes car je n'ai pas touché à ces choses depuis des années...
  • Fulgrim
    Fulgrim
    En fait je voulais dire que $B_s$ et $\sqrt t B_{s/t}$ sont deux mouvements browniens, donc ont même loi, et donc $$
    \mathbb{E}\Big(\int^t_0 \sigma dB_s\Big) = \sqrt t ~ \mathbb{E}\Big(\int^t_0 \sigma dB_{s/t}\Big)
    $$ Et ensuite bricoler quelque chose, majorer quelque chose avec du $B_1$.
    Mais en fait je me suis rendu compte qu'on n'a pas vu de théorème de changement de variable pour les intégrales stochastiques. Il en existe ?
  • Siméon
    Siméon
    Dans le cas d'un changement de variable linéaire $s \mapsto ts$ c'est assez direct puisque, comme tu l'as remarqué, $\widetilde B_s = \frac1{\sqrt t}B_{ts}$ définit encore un brownien standard (propriété de changement d'échelle). Il suffit alors de revenir à la définition de l'intégrale stochastique pour obtenir la formule indiquée.
  • Fulgrim
    Fulgrim
    OK merci j'ai bien compris :)
  • fonction.holomorphe
    fonction.holomorphe
    L'inégalité de Hölder seule donne le résultat quand $t$ est astreint à rester fini, ie si tu travailles avec $t\in[0,T]$ (et d'ailleurs ça ne requiert pas la "hölderianité" de $\sigma$)
    Si $t$ peut être aussi grand que tu veux, tu as bien ton facteur $\sqrt{t}$, mais comment justifies-tu que la variance est bornée (et non seulement finie pour tout $t$) ? Cela demande un peu plus de travail, il me semble !
  • Siméon
    Siméon
    La fonction $\sigma$ est supposée bornée, donc :
    \[
    \forall t\geqslant 0,\quad \int_0^t \sigma(s)^2\,ds \leqslant t \|\sigma\|_\infty^2,
    \]
    et l'inégalité voulue s'ensuit avec $C = \|\sigma\|_\infty$. Que veux-tu de plus ?
  • fonction.holomorphe
    fonction.holomorphe
    Bonsoir,
    Oui Siméon, Hölder sort un terme en sqrt(t) correspondant à l'écart-type, mais sauf erreur, il en sort un autre qui vient de l'intégrale de 1 entre 0 et t.

    Edit : je n'ai pas fait attention, j'ai appliqué Hölder à la mauvaise mesure. L'espérance de 1^2 étant finie, tout marche bien comme il faut !
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