Intégrale stochastique
Bonjour à tous !
J'aimerais majorer une intégrale stochastique, mais vu que l'inégalité triangulaire n'est pas autorisée, j'avoue que je suis un peu démuni...
J'ai $B$ un brownien, $\sigma$ une fonction réelle bornée et $\theta$-höldérienne ($\theta > 1/2$).
Je veux montrer que, pour un certain $C$ $$
\mathbb{E}\Big(\Big|\int_0^t\sigma(s)dB_s\Big|\Big)\leqslant C\sqrt t.
$$ Y a-t-il des techniques pour dire quelque chose même sans connaître $\sigma$ ?
Merci !
J'aimerais majorer une intégrale stochastique, mais vu que l'inégalité triangulaire n'est pas autorisée, j'avoue que je suis un peu démuni...
J'ai $B$ un brownien, $\sigma$ une fonction réelle bornée et $\theta$-höldérienne ($\theta > 1/2$).
Je veux montrer que, pour un certain $C$ $$
\mathbb{E}\Big(\Big|\int_0^t\sigma(s)dB_s\Big|\Big)\leqslant C\sqrt t.
$$ Y a-t-il des techniques pour dire quelque chose même sans connaître $\sigma$ ?
Merci !
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Réponses
L'espérance du carré est donc égale à l'espérance du crochet qui vaut $$
\mathbb{E}\Big(\int_0^t\sigma^2 ds\Big)=c^2t.
$$ Et ensuite on applique Hölder.
C'est à ça que tu pensais ?
Sinon depuis j'ai trouvé en appliquant l'inégalité de Burkholder-Davis-Gundy, mais c'est utiliser un bazooka...
Juste pour savoir aussi, j'ai tenté de faire un genre de changement de temps pour le brownien, en disant que l'espérance est la même que celle avec le brownien donné par $\sqrt t B_{s/t}$.
On a pu utiliser ce genre de technique par moment, factoriser le $\sqrt t$, et arriver à une espérance d'une fonction de $B_1$, qu'on peut montrer être finie.
Est-ce que ça avait une chance d'aboutir ?
Je ne sais pas si je suis très clair, au pire tant pis et merci !
Je précise tout de même que mes réponses sont à prendre avec des pincettes car je n'ai pas touché à ces choses depuis des années...
\mathbb{E}\Big(\int^t_0 \sigma dB_s\Big) = \sqrt t ~ \mathbb{E}\Big(\int^t_0 \sigma dB_{s/t}\Big)
$$ Et ensuite bricoler quelque chose, majorer quelque chose avec du $B_1$.
Mais en fait je me suis rendu compte qu'on n'a pas vu de théorème de changement de variable pour les intégrales stochastiques. Il en existe ?
Si $t$ peut être aussi grand que tu veux, tu as bien ton facteur $\sqrt{t}$, mais comment justifies-tu que la variance est bornée (et non seulement finie pour tout $t$) ? Cela demande un peu plus de travail, il me semble !
\[
\forall t\geqslant 0,\quad \int_0^t \sigma(s)^2\,ds \leqslant t \|\sigma\|_\infty^2,
\]
et l'inégalité voulue s'ensuit avec $C = \|\sigma\|_\infty$. Que veux-tu de plus ?
Oui Siméon, Hölder sort un terme en sqrt(t) correspondant à l'écart-type, mais sauf erreur, il en sort un autre qui vient de l'intégrale de 1 entre 0 et t.
Edit : je n'ai pas fait attention, j'ai appliqué Hölder à la mauvaise mesure. L'espérance de 1^2 étant finie, tout marche bien comme il faut !