Lois des somme et différence de va

chettah
chettah
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour.
Comment déterminer les lois de la somme et de la différence de variables aléatoires.
Par exemple :
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes normales centrées et réduites.
$U=\frac{X+Y}{\sqrt2}$ et $V=\frac{X-Y}{\sqrt2}$.
Comment déterminer les lois de $U$ et $V$ ?

Réponses

  • Dom
    Dom
    Le seul mot clé que je connaisse : produit de convolution.
  • Poirot
    Poirot
    Si tu connais les vecteurs gaussiens, tu peux montrer facilement que $(U, V)$ est un vecteur gaussien d'espérance nulle et de matrice de covariance $I_2$. En particulier, $U$ et $V$ sont gaussiennes centrées réduites.
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir.

    Si tu connais la loi de la somme de deux variables Normales indépendantes (et les propriétés élémentaires des moyennes et variances), tu aboutis facilement à ce résultat.

    Cordialement.
  • aléa
    aléa
    On peut ne rien connaître des vecteurs gaussiens.
    Il s'agit de trouver l'image d'une loi (en dimension 2) à densité par une transformation affine.
    Soit tu as un théorème général, soit tu utilises une méthode type "méthode de la fonction test".
  • chettah
    chettah
    Merci de vos réponses mais je n’ai pas compris.
    Quelqu’un pour détailler la solution surtout pour la différence.
  • Siméon
    Siméon
    Calcule la fonction caractéristique pour commencer.
  • Poirot
    Poirot
    @alea : oui bien sûr, je remarquais juste que c'était clairement l'image du vecteur gaussien $(X, Y)$ par une rotation !

    Dans tous les cas, la clé est de passer par la fonction caractéristique.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Chettah.

    Pour détailler une solution, il faut savoir quelles sont tes connaissances, quelles règles sont dans tes cours.

    Je détaille ce que je te proposais : Si tu disposes du théorème qui dit que la somme de deux variables gaussiennes indépendantes est gaussienne, tu en déduis que $X+Y$ est gaussienne, puis tu justifie que $U$ est gaussienne. Ne reste plus qu'à calculer sa moyenne et sa variance. Idem pour $V$ en utilisant le fait que $X-Y=X+(-Y)$.

    Cordialement.
  • aléa
    aléa
    Poirot a écrit:
    Dans tous les cas, la clé est de passer par la fonction caractéristique.
    Non, justement, ce que je propose, c'est d'utiliser que la mesure de Lebesgue sur $R^2$ est invariante par rotation.
    Pas besoin de fonction caractéristique ici.
  • P.
    P.
    Oui cher alea, pourquoi utiliser l'electricite quand on peut faire ca a la bougie?
  • aléa
    aléa
    Je te trouve un peu de mauvaise foi, cher P.
    Hors contexte, on n'a aucune raison de penser que le poseur connaît les vecteurs gaussiens ou la fonction caractéristique, et les méthodes de calcul de l'image de la loi d'un vecteur par une transformation simple s'enseignent classiquement en Licence.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ P.
    Je suis en train de me préparer du petit sale. Je t'invite...;-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 0