Deux processus de Markov
Bonsoir, s'il vous plaît si on a deux processus à temps continus $X$ et $Y $.
Est-ce que si $X $ et $(X,Y) $ sont markoviens, $Y $ le sera aussi ?
Merci d'avance pour votre aide.
Est-ce que si $X $ et $(X,Y) $ sont markoviens, $Y $ le sera aussi ?
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
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A l'intuition, je dirais qu'on peut construire un contre-exemple avec un PDMP.
Je prendrais $X_t$ qui oscille de $+1$ à $-1$ (chaîne de Markov à temps continu à deux états) et
$Y_t$ solution de $Y'_t=X_t Y_t$. -
Ouh là non ça ne va pas marcher en général. Tu peux aussi prendre comme contre-exemple le couple $(S_n, \mathrm{signe}(S_n))$ où $S_n$ est une marche aléatoire simple. Tu perds beaucoup d'information à oublier $X$ dans ton couple.
Ton $Y$ est appelé "chaîne de Markov cachée". -
Je crois que pour aléa marche aussi.
J'ai une dernière question.
On se donne $A $ un générateur infinitésimal et $f $ une fonction bornée de $I $ discret vers $\mathbb{R} $ et on écrit $Af (i) $ comme un scalaire.
Pour moi c'est comme c'est faux car $ A $ est une matrice et $f $ une fonction réelle.
Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer ?
Cordialement. -
Je crois que j'ai compris, mais je n'arrive pas à montrer que si :
$X_t=(-1)^{N_t}X_0$ et $Y_t=Y_0+\int_{0}^{t}X_sds $.
Où $X_0$ est à valeurs dans {-1,1} et indépendant de $N_t $(processus de poisson d'intensité $\alpha $). De même $Y_0$ est à valeurs dans $\mathbb{R} $ et est indépendant de $N_t $.
On montre facilement que $X $ et $(Y,X)$ sont des processus de markov. Et que X a pour générateur infinitésimal $\begin{cases}L_{xx}=-\alpha \\L_{xy}=\alpha \; (x\neq y)\end{cases} $
Maintenant on note $A $ le générateur infinitésimal de $(Y,X) $ et on se donne $f $ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ par rapport à sa deuxième composante et définit de ${-1,1}\times \mathbb{R} $ vers $\mathbb{R} $. Et on demande de montrer que
$Af (w,x )=\alpha (f(-w,x)-f(w,x))+w\partial_xf(w,x) $. -
Pas de piste.
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