Deux processus de Markov

Je crois que j'ai compris, mais je n'arrive pas à montrer que si :
$X_t=(-1)^{N_t}X_0$ et $Y_t=Y_0+\int_{0}^{t}X_sds $.
Où $X_0$ est à valeurs dans {-1,1} et indépendant de $N_t $(processus de poisson d'intensité $\alpha $). De même $Y_0$ est à valeurs dans $\mathbb{R} $ et est indépendant de $N_t $.
On montre facilement que $X $ et $(Y,X)$ sont des processus de markov. Et que X a pour générateur infinitésimal $\begin{cases}L_{xx}=-\alpha \\L_{xy}=\alpha \; (x\neq y)\end{cases} $
Maintenant on note $A $ le générateur infinitésimal de $(Y,X) $ et on se donne $f $ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ par rapport à sa deuxième composante et définit de ${-1,1}\times \mathbb{R} $ vers $\mathbb{R} $. Et on demande de montrer que
$Af (w,x )=\alpha (f(-w,x)-f(w,x))+w\partial_xf(w,x) $.