Jouons avec des carrés

nice_boycott · January 2020

Bonjour à tous.
Je viens vous présenter un problème un peu bizarre (car ?) tout droit sorti de mon esprit et qui a pour but de résoudre un problème pour un travail de recherche.

Alors supposons que dans le plan on ait :
- un nuage de n points (n pouvant être assez grand),
- et p lignes * q colonnes de carrés tous de côté égal à un. On a donc en gros une maille carroyée de taille p*q.
On définit une variable aléatoire X qui à chaque ligne i associe le nombre de carrés de la ligne à contenir au moins un point du nuage (je ne sais pas trop si ça se dit comme ça, vu mes connaissances peu étendues sur le sujet, mais disons le quand même).
Mon but est alors de trouver une "loi" de distances entre les carrés avec et sans points pour chaque ligne, chaque colonne voire pour la maille entière (la distance étant prise au sens euclidien entre les centres des carrés).

Je ne sais pas si la question est mal posée, a une résolution très simple ou au contraire compliquée donc toute proposition et tout apport seront les bienvenus.
Merci d'avance.

marsup · January 2020

une variable aléatoire X qui à chaque ligne i associe le nombre de carrés de la ligne à contenir au moins un point du nuage

Tu veux dire $X_1,X_2,\dots,X_p$ les $p$ variables pour les $p$ lignes, ou bien autre chose ?

trouver une "loi" de distances entre les carrés avec et sans points pour chaque ligne

Ça, je ne comprends pas du tout ce que ça veut dire.

nice_boycott · January 2020

Effectivement, Xi est variable aléatoire qui pour la ligne i représente le nombre de carrés de cette ligne qui possèdent au moins un point.

Et ma façon de voir c'est définir une variable Y(i,j),r qui pour un carré "vide" (i,j) c'est à dire qui ne contient pas de point, associe le nombre de carrés "non vides" qui se trouvent dans un rayon de r autour de lui ; et ainsi de déterminer complètement cette variable.

Mais ce n'est qu'une façon de penser a priori, car l'idée globale c'est grosso modo de "caractériser les distances aléatoires entre les carrés vides et carrés non vides"

gerard0 · January 2020

Bonjour.

Juste pour faire avancer le schmilblick : Tu parles de variables aléatoires pour tes X_i. Cela ne peut avoir de sens que si ton nuage est lui-même aléatoire (à moins que ce soit la position de la grille ?!!). Or sans règle sur cet aléatoire, il est difficile de modéliser quoi que ce soit. Et il serait sans doute utile de connaître la position du nuage par rapport à la grille (tous les poinsts y sont ? Ou il est peu probable qu'un point n'y soit pas ? Ou la grille ne recouvre qu'une partie du nuage ? Ou ...).
Il faudrait cadrer un peu mieux la question;

Cordialement.

nice_boycott · January 2020

Merci de ton retour.
Comme je l'ai précisé, cet exo vient de moi et est essentiellement un prototype de solution pour mon problème, donc merci de m'indiquer les lacunes.
Alors je me permets d'ajouter le paramètre du côté des carrés comme étant aléatoire entre 0⁺ et 1, mais la maille reste toujours de taille p*q
Et disons qu'une fraction x > 0.6 (en moyenne car ça dépend du coup du nombre total de cases) de cases sont des cases vides sur chaque ligne (cela vient des conditions de mon problème)
Et n'hésitez pas à "me forcer" à rajouter des hypothèses

lourrran · January 2020

La question de gerard0 est à propos du nuage.
Ce nuage, ça peut être un nuage au sens classique, une espèce d'ellipse : on a un centre, et plus on est proche de ce centre, plus la densité de points augmente.

Ou alors, le nuage est en fait un ensemble de points uniforme : Pour placer un point sur la grille, on a tiré un nombre réel au hasard entre 0 et p, idem pour y, un nombre au hasard entre 0 et q ; avec des distributions uniformes : chaque petit carré de taille 0.001*0.001 a autant de chances de recevoir ce point.

Dans ce scénario 2, je pense qu'on a tous les éléments pour travailler !
Mais le mot nuage fait beaucoup penser au scénario 1.

nice_boycott · January 2020

Ou pour simplifier disons que le grille et la taille des côtes sont fixes et chaque carré a une probabilité de x d'être vide.
Et excusez moi si l'utilisation du terme "nuage de points" est inappropriée mais disons simplement qu'un carré peut avoir ou pas un ou plusieurs points distribués aléatoirement (après on peut poser ça la probabilité qu'un carré ait un point, x2 la probabilité qu'il en ait deux et ainsi complexifier le problème, mais pour l'instant posons x la probabilité qu'un carré n'ait aucun point).
Je pense que ces hypothèses sont raisonnables et résument bien mon problème.

gerard0 · January 2020

Alors il serait bon de redonner un énoncé précis de ton problème. A te lire, voila ce que j'ai compris :
"On a une grille nxm de carrés, et dans chaque carré, aléatoirement, la probabilité de contenir ou non un point."
Ensuite, les besoins pour avancer :
Soit p la probabilité qu'un carré soit "rempli". Questions :
* p ne dépend-il que du carré : Y a-t-il indépendance des présences des points (*) ?
* que veux-tu calculer exactement ?

Cordialement.

(*) avec le nuage de points du début, c'est à priori faux

nice_boycott · January 2020

Oui il y a indépendance de présence des points dans un carré donné
La question : pour une distance r et un carré vide d'une ligne donnée, quel est le nombre de carrés non vides dans un rayon de r autour dudit carré vide

gerard0 · January 2020

OK.

Chaque carré autour du carré vide a la probabilité 1-p d'être vide. Soit u le nombre de carrés que tu considères, le nombre de carrés vides est une variable aléatoire binomiale de loi $\mathcal B(u, 1-p)$. Et 1 de plus si on compte le carré central.
A toi de calculer ton u en fonction de r et de ta façon de mesurer les distances ...

Cordialement.

Jouons avec des carrés

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