Fonction génératrice et convergence en loi

Dd Kg · January 2020

Bonjour
Pourquoi la convergence en loi de $X_n$ vers $X$ est-elle équivalente à la convergence ponctuelle des fonctions génératrices vers la fonction génératrice de la variable limite ? Je fais ici référence à la fonction génératrice d'une variable positive, définie par $z\mapsto\mathbb{E}(z^X)$
Supposons par exemple acquis le théorème de Lévy sur la convergence en loi par la convergence des fonctions caractéristiques. Peut-on déduire de celui-ci la réponse à ma question ? Autrement dit (ou pas), quel est le lien entre fonction caractéristique et fonction génératrice ?

aléa · January 2020

En fait, ce que tu cherches est plus souvent exprimé en termes de transformée de Laplace, mais c'est complètement équivalent, puisque regarder $t\mapsto E[e^{-tX}]$ sur $\R_+$ ou regarder $s\mapsto E[s^X]$ sur $[0,1]$, c'est évidemment pareil.

Eh, bien, en fait tout va bien, on a même un équivalent au deuxième théorème de Levy, avec une preuve très proche: si la limite des fonctionnelles a comme une limite une fonction qui est continue là où il faut (en $0$ pour $t$, en $1$ pour $s$), alors on peut montrer que la suite des lois est tendue, puis appliquer la machinerie habituelle.
C'est même techniquement plus facile à prouver que le 2e théorème de Levy.

reuns · January 2020

Je pense que le premier théorème de Lévy est une conséquence du noyau de Fejér, qui donne une approximation d'une mesure finie $\ge 0$ supportée sur $[a,b]$ en se basant seulement sur un nombre fini de ses coefficients de Fourier.

Poirot · January 2020

@reuns : quel rapport avec la question initiale ?

reuns · January 2020

Je ne comprends pas la question Poirot.

La question de départ n'a aucun intérêt puisqu'elle parle d'un théorème compliqué pour demander pourquoi on peut remplacer $e^{-tX}$ ou $e^{i\omega X}$ par $z^X$.

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