Borne supérieure de mesures

Bonjour et bonne année à tous.
On se donne un ensemble $E$ non dénombrable et $\mathcal{E} $ la $\sigma$-algèbre dénombrablement engendrée de $E$. On considère la famille $(\mu_x, x\in E)$ de mesures de probabilité sur la $\sigma$-algèbre $\mathcal{E} $.

On demande de vérifier si la relation suivante est vraie. $$
\sup_{x,y\in E}\sup_{A\in \mathcal{E}}|\mu_x (A)- \mu_y(A)| =\sup_{A\in \mathcal{E}}\Big(\sup_{t\in E}\mu_t (A)- \inf_{t\in E}\mu_t (A)\Big).
$$ Il me semble que la relation donnée est vraie. J’ai démontré que $$\sup_{x,y\in E}\sup_{A\in \mathcal{E}}|\mu_x (A)- \mu_y(A)| \leq \sup_{A\in \mathcal{E}}\Big(\sup_{t\in E}\mu_t (A)- \inf_{t\in E}\mu_t (A)\Big).
$$ C’est l’inégalité inverse qui me pose problème.
Par ailleurs, en travaillant ce problème, je me suis posé la question suivante : si on a une fonction bornée positive sur un ensemble $E$. Est-ce qu’on a : $$
\sup_{x,y\in E}|f (x)- f(y)|= \sup_{t\in E}f (t)- \inf_{t\in E}f (t) =\sup_{x,y\in E}(f (x)- f(y)).
$$ S’il vous plaît, si quelqu’un répond par la négative qu’il me donne, si possible, un contre-exemple.
Merci d’avance à toutes vos réponses.